1. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Вероятность успеха (поразить мишень) \(p = 0.6\). Вероятность неудачи (промах) \(q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4\).

Формула для биномиального распределения:

\[ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \(n\) — количество испытаний (мишеней), \(k\) — количество успехов.

Событие «стрелок поразит ровно пять мишеней»

Здесь \(n = 5\) (стреляет по 5 мишеням) и \(k = 5\) (поразил все 5 мишеней).

Вероятность \(P(X=5)\):

\[ P(X=5) = C_5^5 \cdot (0.6)^5 \cdot (0.4)^{5-5} = 1 \cdot (0.6)^5 \cdot (0.4)^0 = (0.6)^5 \]

\[ P(X=5) = 0.07776 \]

Событие «стрелок поразит ровно четыре мишени»

Здесь \(n = 5\) и \(k = 4\).

Вероятность \(P(X=4)\):

\[ P(X=4) = C_5^4 \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^{5-4} = 5 \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^1 \]

\[ P(X=4) = 5 \cdot 0.1296 \cdot 0.4 = 5 \cdot 0.05184 = 0.2592 \]

Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?

Чтобы найти, во сколько раз одно число больше другого, нужно первое число разделить на второе:

\[ \frac{P(X=5)}{P(X=4)} = \frac{0.07776}{0.2592} \]

\[ \frac{0.07776}{0.2592} = 0.3 \]

Получилось, что вероятность поразить 5 мишеней *меньше*, чем вероятность поразить 4 мишени. Проверим условие: «На каждую мишень даётся не более двух выстрелов». Это условие не влияет на расчет вероятности поражения мишени, так как вероятность поражения уже дана (0.6) и считается для каждой мишени независимо.

Возможно, в задаче допущена опечатка, и имелось в виду «Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно четыре мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно пять мишеней»?» В этом случае ответ будет:

\[ \frac{P(X=4)}{P(X=5)} = \frac{0.2592}{0.07776} = 3.333... \]

Если же считать условие задачи буквально:

\[ \frac{P(X=5)}{P(X=4)} = 0.3 \]

Тогда вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» меньше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени» в \( \frac{1}{0.3} \approx 3.33 \) раза.

Учитывая формулировку «больше вероятности», скорее всего, ожидался ответ, показывающий, во сколько раз большее число больше меньшего.

Ответ: Вероятность события «стрелок поразит ровно четыре мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно пять мишеней» примерно в 3.33 раза.