1. Сумма двух натуральных чисел равна 36, а разность самих чисел равна 2. Найдите эти числа. 2. Вариант В2 a) {-2a + b - 13 = 0, -5a + 3b - 37 = 0; б) {2(2x + y) + 3(2x - y) = 32, 5(2x + y) - 2(2x - y) = 4. 2 Катер за 3 ч по течению и 2 ч против течения проходит 61 км. За 2 ч по течению ка- тер проходит на 7 км мень- ше, чем за 3 ч против тече-

1. Нахождение чисел по сумме и разности

Пусть первое число будет \( x \), а второе число \( y \).

1. Составим систему уравнений:
   • \( x + y = 36 \) (сумма чисел)
   • \( x - y = 2 \) (разность чисел)
2. Решим систему методом сложения:
   • Сложим оба уравнения: \( (x + y) + (x - y) = 36 + 2 \)
   • \( 2x = 38 \)
   • \( x = \frac{38}{2} \)
   • \( x = 19 \)
3. Найдем второе число, подставив значение \( x \) в первое уравнение:
   • \( 19 + y = 36 \)
   • \( y = 36 - 19 \)
   • \( y = 17 \)

Ответ: числа 19 и 17.

2. Решение систем уравнений

а) Система линейных уравнений

Дана система:

\[ \begin{cases} -2a + b - 13 = 0 \ -5a + 3b - 37 = 0
\end{cases} \]

1. Преобразуем уравнения:
   • \( -2a + b = 13 \)
   • \( -5a + 3b = 37 \)
2. Выразим \( b \) из первого уравнения:
   • \( b = 13 + 2a \)
3. Подставим выражение для \( b \) во второе уравнение:
   • \( -5a + 3(13 + 2a) = 37 \)
   • \( -5a + 39 + 6a = 37 \)
   • \( a = 37 - 39 \)
   • \( a = -2 \)
4. Найдем \( b \), подставив \( a = -2 \) в выражение для \( b \):
   • \( b = 13 + 2(-2) \)
   • \( b = 13 - 4 \)
   • \( b = 9 \)

Ответ: \( a = -2 \), \( b = 9 \).

б) Система уравнений с двумя переменными

Дана система:

\[ \begin{cases} 2(2x + y) + 3(2x - y) = 32 \ 5(2x + y) - 2(2x - y) = 4
\end{cases} \]

Сделаем замену переменных: пусть \( u = 2x + y \) и \( v = 2x - y \).

Система примет вид:

\[ \begin{cases} 2u + 3v = 32 \ 5u - 2v = 4
\end{cases} \]

1. Решим полученную систему относительно \( u \) и \( v \). Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы избавиться от \( v \):
   • \( (2u + 3v) \times 2 = 32 \times 2 \rightarrow 4u + 6v = 64 \)
   • \( (5u - 2v) \times 3 = 4 \times 3 \rightarrow 15u - 6v = 12 \)
2. Сложим полученные уравнения:
   • \( (4u + 6v) + (15u - 6v) = 64 + 12 \)
   • \( 19u = 76 \)
   • \( u = \frac{76}{19} \)
   • \( u = 4 \)
3. Найдем \( v \), подставив \( u = 4 \) в первое уравнение \( 2u + 3v = 32 \):
   • \( 2(4) + 3v = 32 \)
   • \( 8 + 3v = 32 \)
   • \( 3v = 32 - 8 \)
   • \( 3v = 24 \)
   • \( v = \frac{24}{3} \)
   • \( v = 8 \)
4. Теперь вернемся к исходным переменным \( x \) и \( y \):
   • \( 2x + y = u = 4 \)
   • \( 2x - y = v = 8 \)
5. Решим эту систему:
   • Сложим два уравнения: \( (2x + y) + (2x - y) = 4 + 8 \)
   • \( 4x = 12 \)
   • \( x = \frac{12}{4} \)
   • \( x = 3 \)
   • Подставим \( x = 3 \) в уравнение \( 2x + y = 4 \):
   • \( 2(3) + y = 4 \)
   • \( 6 + y = 4 \)
   • \( y = 4 - 6 \)
   • \( y = -2 \)

Ответ: \( x = 3 \), \( y = -2 \).

3. Задача о катере

Пусть \( v_к \) — собственная скорость катера (км/ч), а \( v_т \) — скорость течения реки (км/ч).

Скорость катера по течению: \( v_к + v_т \) (км/ч).

Скорость катера против течения: \( v_к - v_т \) (км/ч).

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} 3(v_к + v_т) + 2(v_к - v_т) = 61 \ 2(v_к + v_т) = 3(v_к - v_т) - 7
\end{cases} \]

1. Раскроем скобки и упростим уравнения:
   • Первое уравнение: \( 3v_к + 3v_т + 2v_к - 2v_т = 61 \rightarrow 5v_к + v_т = 61 \)
   • Второе уравнение: \( 2v_к + 2v_т = 3v_к - 3v_т - 7 \rightarrow 5v_т = v_к - 7 \rightarrow v_к = 5v_т + 7 \)
2. Подставим выражение для \( v_к \) из второго уравнения в первое:
   • \( 5(5v_т + 7) + v_т = 61 \)
   • \( 25v_т + 35 + v_т = 61 \)
   • \( 26v_т = 61 - 35 \)
   • \( 26v_т = 26 \)
   • \( v_т = 1 \)
3. Найдем \( v_к \), подставив \( v_т = 1 \) в выражение \( v_к = 5v_т + 7 \):
   • \( v_к = 5(1) + 7 \)
   • \( v_к = 5 + 7 \)
   • \( v_к = 12 \)

Ответ: собственная скорость катера 12 км/ч, скорость течения 1 км/ч.