1 Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 218°. Найдите меньший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°. Поскольку сумма двух углов равна 218°, эти углы не могут быть углами при одном основании (их сумма была бы меньше 180°). Значит, это два угла при разных основаниях.

Пусть углы трапеции равны $$\alpha, \alpha, \beta, \beta$$.

Возможны два случая:

1. Два соседних угла: $$\alpha + \beta = 218°$$. Так как $$\alpha + \beta = 180°$$ (углы, прилежащие к боковой стороне), этот случай невозможен.
2. Два противоположных угла: \(\alpha + \beta = 218°\). В равнобедренной трапеции сумма двух углов при одном основании равна 180°, а сумма двух углов при другом основании также равна 180°. Поэтому, если сумма двух углов трапеции равна 218°, то это должны быть два разных угла (один при одном основании, другой при другом).

Пусть данные углы - это больший и меньший углы трапеции. Обозначим меньший угол как $$x$$. Тогда больший угол, смежный с ним (при другом основании), будет $$180° - x$$.

Сумма двух углов равна $$218°$$. Возможны два случая:

• Меньший + меньший = 218°. Тогда 2x = 218°, x = 109°. Это больше 90°, значит, это больший угол. Меньший будет 180° - 109° = 71°.
• Больший + меньший = 218°. Пусть меньший угол = x, тогда больший = 180 - x. x + (180-x) = 180, что не равно 218.
• Два угла при одном основании: $$2 \times \text{угол} = 218$$, тогда угол $$= 109$$. Это больше 90, значит, это тупой угол. Если у трапеции есть тупые углы, то они лежат при меньшем основании. Значит, меньший угол = 109°. Тогда больший угол = 180 - 109 = 71°.

Пусть углы трапеции равны $$\alpha, \alpha, \beta, \beta$$. Сумма всех углов равна 360°.

Пусть $$\alpha$$ - угол при одном основании, $$\beta$$ - угол при другом основании. В равнобедренной трапеции:

• $$\alpha + \beta = 180°$$ (углы, прилежащие к боковой стороне)
• $$\alpha \ne \beta$$ (если $$\alpha = \beta$$, то трапеция - прямоугольник, но тогда сумма двух углов = 180° или 360°).

Дано, что сумма двух углов равна 218°.

Возможные пары сумм:

• $$\alpha + \alpha = 218° \rightarrow \alpha = 109°$$. Тогда $$\beta = 180° - 109° = 71°$$. В этом случае углы: 109°, 109°, 71°, 71°. Меньший угол = 71°
• $$\beta + \beta = 218° \rightarrow \beta = 109°$$. Тогда $$\alpha = 180° - 109° = 71°$$. В этом случае углы: 71°, 71°, 109°, 109°. Меньший угол = 71°
• $$\alpha + \beta = 218°$$. Но мы знаем, что $$\alpha + \beta = 180°$$. Этот случай невозможен.

Следовательно, углы трапеции - 71°, 71°, 109°, 109°. Меньший угол равен 71°.

Ответ: 71