1. Свойства функций. Обратная функция. 2. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 10 см и 17 см. одна из диагоналей основания равна 29 см. Вычислите объем параллелепипеда. 3. Решить систему неравенств: {5-x>2x-4, 3x-7<3-2x;

1. Свойства функций. Обратная функция.

Свойства функций изучают, как изменяется значение функции в зависимости от изменения аргумента. Основные свойства функций включают:

• Монотонность: возрастание или убывание функции на заданном промежутке.
• Чётность и нечётность: симметрия графика относительно оси ординат (чётная) или начала координат (нечётная).
• Периодичность: повторяемость значений функции через определённый интервал.
• Ограниченность: наличие верхней или нижней границы значений функции.
• Область определения и область значений: множество допустимых значений аргумента и функции соответственно.

Обратная функция — это функция, которая «отменяет» действие исходной функции. Если функция \( y = f(x) \), то обратная функция имеет вид \( x = g(y) \). Для существования обратной функции, исходная функция должна быть взаимно однозначной (биективной).

Чтобы найти обратную функцию, нужно:

1. Заменить \( y \) на \( x \), а \( x \) на \( y \) в уравнении \( y = f(x) \).
2. Выразить \( y \) через \( x \) из полученного уравнения.
3. Полученное выражение будет обратной функцией: \( y = f^{-1}(x) \).

2. Вычисление объёма параллелепипеда.

Дано:

• Прямой параллелепипед.
• Стороны основания: \( a = 10 \) см, \( b = 17 \) см.
• Диагональ основания: \( d = 29 \) см.

Найти: Объём параллелепипеда \( V \).

Решение:

Объём прямого параллелепипеда вычисляется по формуле \( V = S_{осн} \cdot H \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, а \( H \) — высота параллелепипеда.

В данном случае основание — прямоугольник. Площадь основания: \( S_{осн} = a \cdot b = 10 \text{ см} \cdot 17 \text{ см} = 170 \text{ см}^2 \).

Для нахождения высоты \( H \) нам не хватает данных. Задача сформулирована так, что диагональ основания \( d \) не позволяет однозначно найти высоту. Вероятно, в условии подразумевается, что параллелепипед прямой, а не прямоугольный, и данная диагональ — это диагональ самого параллелепипеда, а не основания. Если бы это была диагональ основания, то для прямоугольника с сторонами 10 и 17 см, диагональ была бы \( \sqrt{10^2 + 17^2} = \sqrt{100 + 289} = \sqrt{389} \approx 19.7 \) см, что не равно 29 см. Это говорит о том, что основание не является прямоугольником, или в условии ошибка. Если же \( 29 \) см — это диагональ самого параллелепипеда, и основание — прямоугольник, то задача решается так:

Пусть \( d_{парал} = 29 \) см — диагональ параллелепипеда, \( H \) — высота. Тогда \( d_{парал}^2 = d_{осн}^2 + H^2 \). Но \( d_{осн} \) нам неизвестна.

Предполагая, что основание — прямоугольник, и 29 см — это диагональ самого параллелепипеда, а также, что одна из сторон основания (например, 10 см) и высота являются катетами прямоугольного треугольника, образованного диагональю основания и одной из боковых граней, мы не можем найти высоту.

Исходя из формулировки «одна из диагоналей основания равна 29 см», и того, что стороны основания 10 и 17 см, следует, что основание — не прямоугольник. Площадь такого основания неизвестна.

При условии, что основание — прямоугольник, и 29 см — это диагональ самого параллелепипеда, а высота неизвестна.

Учитывая, что задача, вероятно, имеет ошибку в условии, невозможно дать точный ответ. Если предположить, что 29 см — это диагональ самого параллелепипеда, и основание — прямоугольник со сторонами 10 и 17 см, то \( d_{осн} = \sqrt{10^2 + 17^2} = \sqrt{389} \). Тогда \( H = \sqrt{d_{парал}^2 - d_{осн}^2} = \sqrt{29^2 - 389} = \sqrt{841 - 389} = \sqrt{452} \approx 21.26 \) см.

В таком случае объём: \( V = S_{осн} \cdot H = 170 \text{ см}^2 \cdot \sqrt{452} \text{ см} \approx 170 \cdot 21.26 \text{ см}^3 \approx 3614.2 \text{ см}^3 \).

Если же 29 см — это именно диагональ основания, и основание не прямоугольник, то для вычисления площади основания и, следовательно, объёма, не хватает данных.

Ответ: Задача содержит противоречивые данные или неполную информацию для однозначного решения.

3. Решение системы неравенств:

Система:

• \( 5 - x > 2x - 4 \)
• \( 3x - 7 < 3 - 2x \)

Решим первое неравенство:

\( 5 - x > 2x - 4 \)

\( 5 + 4 > 2x + x \)

\( 9 > 3x \)

\( 3 > x \) или \( x < 3 \).

Решим второе неравенство:

\( 3x - 7 < 3 - 2x \)

\( 3x + 2x < 3 + 7 \)

\( 5x < 10 \)

\( x < 2 \).

Объединим решения обоих неравенств:

Нам нужно найти такие \( x \), которые удовлетворяют обоим условиям: \( x < 3 \) и \( x < 2 \).

Наиболее строгим условием является \( x < 2 \).

Ответ: \( x < 2 \).