1. Свойство биссектрисы угла (определение и доказательство). Следствие. 2. В треугольнике ABC ∠A = 90°, ∠B = 60°. На стороне АС отмечена точка D так, что ∠DBC = 30°, DA = 4 см. Найти АС и расстояние от точки D до стороны ВС.

Решение:

1. Свойство биссектрисы угла:

Определение: Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий угол на два равных угла.

Следствие: Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла.

Доказательство:

Пусть луч $$l$$ — биссектриса угла $$\angle ABC$$. Возьмём произвольную точку $$M$$ на луче $$l$$. Проведём перпендикуляры $$MA$$ и $$MC$$ к сторонам $$AB$$ и $$BC$$ угла соответственно.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABM$$ и $$\triangle CBM$$.

1. $$\angle ABM = \angle CBM$$ (по условию, так как $$BM$$ — биссектриса).

2. $$BM$$ — общая гипотенуза.

3. $$\angle BAM = \angle BCM = 90^{\circ}$$ (по построению).

Следовательно, $$\triangle ABM = \triangle CBM$$ по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует, что $$MA = MC$$. Это означает, что любая точка $$M$$ на биссектрисе $$l$$ равноудалена от сторон угла $$AB$$ и $$BC$$.

2. Решение задачи:

Дано:

$$\triangle ABC$$ — прямоугольный;

$$\angle A = 90^{\circ}$$

$$\angle B = 60^{\circ}$$

$$D$$ — точка на $$AC$$;

$$\angle DBC = 30^{\circ}$$

$$DA = 4$$ см

Найти:

$$AC$$ — ?

$$h$$ (расстояние от $$D$$ до $$BC$$) — ?

Решение:

1. Найдём углы $$\triangle ABC$$:

   $$\angle C = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$$

2. Найдём длину $$AB$$:

   В прямоугольном $$\triangle ABC$$, $$\cos B = \frac{AB}{BC}$$ и $$\sin B = \frac{AC}{BC}$$.

   $$\angle ABC = 60^{\circ}$$, $$\angle DBC = 30^{\circ}$$. Следовательно, $$\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$$.

   В $$\triangle ABD$$, $$\angle ADB = 180^{\circ} - \angle A - \angle ABD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$$.

   Теперь рассмотрим $$\triangle BDC$$:

   $$\angle C = 30^{\circ}$$, $$\angle DBC = 30^{\circ}$$

   Следовательно, $$\triangle BDC$$ — равнобедренный с основанием $$CD$$. Значит, $$CD = BD$$.

   В прямоугольном $$\triangle ABC$$:

   $$\tan C = \frac{AB}{AC} \implies AB = AC \cdot \tan 30^{\circ} = AC \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$$

   $$\tan B = \frac{AC}{AB} \implies AC = AB \cdot \tan 60^{\circ} = AB \cdot \sqrt{3}$$

   Мы знаем, что $$AC = AD + DC$$.

   $$AC = 4 + CD$$

   В $$\triangle ABC$$, $$AC = BC \cdot \sin 60^{\circ}$$ и $$AB = BC \cdot \cos 60^{\circ}$$.

   $$\frac{AC}{AB} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\cos 60^{\circ}} = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$$.

   $$AC = AB \sqrt{3}$$.

   Рассмотрим $$\triangle ABD$$. $$\angle A = 90^{\circ}, \angle ABD = 30^{\circ}, \angle ADB = 60^{\circ}$$.

   $$AD = AB \tan 30^{\circ} = AB \frac{1}{\sqrt{3}}$$.

   $$AB = AD \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$ см.

   Теперь найдём $$AC$$:

   $$AC = AB \sqrt{3} = (4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$$ см.

   Итак, $$AC = 12$$ см.

3. Найдём расстояние от точки $$D$$ до стороны $$BC$$.

   Это высота $$h$$ в $$\triangle BDC$$, проведённая из вершины $$D$$ к стороне $$BC$$.

   Площадь $$\triangle BDC$$ можно найти как $$\frac{1}{2} BD CD \sin C$$.

   Или как $$\frac{1}{2} BC h$$.

   Сначала найдём $$BD$$ (которая равна $$CD$$).

   $$CD = AC - AD = 12 - 4 = 8$$ см.

   Значит, $$BD = 8$$ см.

   Теперь найдём $$BC$$ в $$\triangle ABC$$:

   $$\sin B = \frac{AC}{BC} \implies BC = \frac{AC}{\sin 60^{\circ}} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$$ см.

   Площадь $$\triangle BDC = \frac{1}{2} BD CD \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} 8 8 \frac{1}{2} = 16$$ см².

   Площадь $$\triangle BDC$$ также равна $$\frac{1}{2} BC h$$.

   $$16 = \frac{1}{2} (8\sqrt{3}) h$$

   $$16 = 4\sqrt{3} h$$

   $$h = \frac{16}{4\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$ см.

   Итак, расстояние от точки $$D$$ до стороны $$BC$$ равно $$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$ см.

Ответ: $$AC = 12$$ см, расстояние от точки $$D$$ до стороны $$BC$$ равно $$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$ см.