1. (Т) Пусть BD – высота треугольника АВС, точка Е – середина ВС. Вычислить радиус круга, описанного около треугольника BDE, если АВ = 30см, ВС = 26см, АС = 28см.

Решение:

Для начала найдём длину высоты BD и длину отрезка CD.

1. Вычислим площадь треугольника ABC по формуле Герона:
• Полупериметр \( p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{30 + 26 + 28}{2} = \frac{84}{2} = 42 \) см.
• Площадь \( S = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{42(42-30)(42-26)(42-28)} = \sqrt{42 \cdot 12 \cdot 16 \cdot 14} = \sqrt{(2 \cdot 3 \cdot 7) \cdot (2^2 \cdot 3) \cdot 2^4 \cdot (2 \cdot 7)} = \sqrt{2^8 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^4 \cdot 3 \cdot 7 = 16 \cdot 21 = 336 \) см².
2. Теперь найдём высоту BD, зная площадь и основание BC:
• \( S = \frac{1}{2} · BC · BD \)
• \( BD = \frac{2S}{BC} = \frac{2 · 336}{26} = \frac{336}{13} \) см.
3. Найдем CD, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ADC:
• \( AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} \)
• Так как \( BD = \frac{336}{13} \), то \( AD = \sqrt{28^2 - (\frac{336}{13})^2} = \sqrt{784 - \frac{112896}{169}} = \sqrt{\frac{132576 - 112896}{169}} = \sqrt{\frac{19680}{169}} \) - это неверный путь, нужно найти CD.
• Перейдём к другому подходу:
4. Найдем длину CD, зная AB, BC, AC и BD.
• В прямоугольном треугольнике ABD: \( AD^2 = AB^2 - BD^2 = 30^2 - (\frac{336}{13})^2 = 900 - \frac{112896}{169} = \frac{152100 - 112896}{169} = \frac{39204}{169} \).
• \( AD = \sqrt{\frac{39204}{169}} = \frac{198}{13} \) см.
• Теперь найдём CD: \( CD = BC - AD = 26 - \frac{198}{13} = \frac{338 - 198}{13} = \frac{140}{13} \) см.
5. В прямоугольном треугольнике BDE, гипотенуза BE = BC/2 = 26/2 = 13 см. BD = 336/13 см.
6. Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника BDE (где угол D = 90 градусов) равен половине гипотенузы BE.
7. \( R = \frac{BE}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \) см.

Ответ: 6.5 см.