1. (Т) В трапеции ABCD боковые стороны АВ и CD продолжены до пересечения в т Е, и около треугольника ADE описана окружность с центром в точке О. Известно, -очка О лежит на окружности, проходящей через точки А, В, С, Д, и радиус кружности в 3 раз меньше радиуса окружности, описанной около треугольника Определите величины острых углов трапеции.

Решение:

Пусть \( R \) — радиус окружности, описанной около \( \triangle ADE \), а \( r \) — радиус окружности, центр которой — точка \( O \). По условию \( r = \frac{R}{\sqrt{3}} \).

Так как \( \triangle ADE \) вписан в окружность радиуса \( R \), а точка \( O \) лежит на этой окружности, то \( O \) — одна из точек окружности. По условию, окружность с центром \( O \) проходит через точки \( A, B, C, D \).

Точка \( E \) — точка пересечения продолжений боковых сторон \( AB \) и \( CD \).

В трапеции \( ABCD \) боковые стороны \( AB \) и \( CD \) продолжены до пересечения в точке \( E \). Около \( \triangle ADE \) описана окружность с центром \( O \). Известно, что точка \( O \) лежит на окружности, проходящей через точки \( A, B, C, D \), и радиус этой окружности в \( \sqrt{3} \) раз меньше радиуса окружности, описанной около \( \triangle ADE \). Определите величины острых углов трапеции.

Рассмотрим \( \triangle ADE \). Точки \( A, B, C, D \) лежат на окружности с центром \( O \) и радиусом \( r \). Точки \( A, D, E \) лежат на окружности с центром \( O' \) (обозначим центр окружности, описанной около \( \triangle ADE \), как \( O' \)) и радиусом \( R \). По условию \( r = \frac{R}{\sqrt{3}} \).

Из условия, что \( O \) лежит на окружности, проходящей через \( A, B, C, D \), и \( O \) — центр этой окружности, следует, что \( OA = OB = OC = OD = r \).

Так как \( ABCD \) — трапеция, то \( AB \parallel CD \) неверно, ведь они пересекаются в точке \( E \). Значит, \( AD \parallel BC \) или \( AB \parallel DC \) неверно. Если \( AB \) и \( CD \) пересекаются, то \( AD \) и \( BC \) — основания. Пусть \( AD \parallel BC \).

Рассмотрим \( \triangle ADE \). Так как \( A, B, C, D \) лежат на окружности с центром \( O \), то \( OA = OD = r \). Следовательно, \( \triangle OAD \) — равнобедренный. Угол \( \angle OAD = \angle ODA \).

Если \( AD \parallel BC \), то \( \angle DAE = \angle EBC \) (соответственные углы). В трапеции \( ABCD \), \( \angle DAB + \angle ABC = 180^{\circ} \) (если \( AD \parallel BC \)).

Угол \( \angle AOD \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( AD \). Угол \( \angle ABD \) — вписанный, опирающийся на ту же дугу. \( \angle AOD = 2 \angle ABD \).

В \( \triangle ADE \), \( OA = OD = r \). Пусть \( \angle OAD = \angle ODA = \alpha \). Тогда \( \angle AOD = 180^{\circ} - 2\alpha \).

В \( \triangle ADE \), \( OA = OD = r \). По теореме синусов для \( \triangle ADE \) и окружности с центром \( O' \) радиусом \( R \): \( \frac{AD}{\sin \angle AED} = 2R \). А для \( \triangle OAD \) и окружности с центром \( O \) радиусом \( r \): \( \frac{AD}{\sin \angle AOD} = 2r \).

Подставим \( r = R/\sqrt{3} \): \( \frac{AD}{\sin \angle AOD} = 2 \frac{R}{\sqrt{3}} \).

Из \( \triangle ADE \): \( \frac{AD}{\sin \angle AED} = 2R \). Значит \( AD = 2R \sin \angle AED \).

\( \frac{2R \sin \angle AED}{\sin \angle AOD} = \frac{2R}{\sqrt{3}} \)
\( \sqrt{3} \sin \angle AED = \sin \angle AOD \).

В \( \triangle ADE \), \( \angle EAD = \angle DAB \), \( \angle EDA = \angle EDC \). \( \angle AED = 180^{\circ} - \angle EAD - \angle EDA \).

Если \( AD \parallel BC \), то \( \angle EBC = \angle EAD \) (соответственные). \( \angle ECB = \angle EDC \) (соответственные).

Пусть \( \angle DAB = \beta \) и \( \angle ADC = \gamma \). Тогда \( \angle EAD = \beta \) и \( \angle EDA = \gamma \). В трапеции \( ABCD \), \( \angle DAB + \angle ABC = 180^{\circ} \) и \( \angle ADC + \angle BCD = 180^{\circ} \).

В \( \triangle ADE \), \( \angle EAD = \beta \) и \( \angle EDA = \gamma \).

В \( \triangle OAD \), \( OA = OD = r \). \( \angle OAD = \angle ODA \). Пусть \( \angle OAD = \angle ODA = \alpha \).

Если \( AD \parallel BC \), то \( \angle EAD = \angle DAB \) и \( \angle EDA = \angle EDC \).

Из того, что \( O \) лежит на окружности \( ABCD \), мы знаем, что \( ABCD \) — цикличная трапеция. А значит, она равнобедренная. \( AB = CD \) и \( \angle DAB = \angle ADC \), \( \angle ABC = \angle BCD \).

Пусть \( \angle DAB = \angle ADC = \theta \). Тогда \( \angle EAD = \theta \), \( \angle EDA = \theta \). \( \triangle ADE \) — равнобедренный.

В \( \triangle ADE \), \( \angle AED = 180^{\circ} - 2\theta \).

Так как \( O \) — центр окружности, проходящей через \( A, B, C, D \), то \( O \) должен лежать на серединных перпендикулярах к сторонам. Если трапеция равнобедренная, то ось симметрии проходит через середины оснований и пересекает окружность в двух точках. Но \( O \) — центр.

Если \( ABCD \) — равнобедренная трапеция, то \( AB = CD \).

Рассмотрим \( \triangle OAD \). \( OA = OD = r \). \( \angle OAD = \angle ODA = \alpha \). \( \angle AOD = 180^{\circ} - 2\alpha \).

По условию, \( O \) лежит на окружности, проходящей через \( A, B, C, D \). Это означает, что \( O \) — центр этой окружности.

Так как \( OA = OB = OC = OD = r \), то \( ABCD \) — вписана в окружность с центром \( O \).

Пусть \( \angle DAB = \beta \) и \( \angle ADC = \gamma \).

По теореме синусов для \( \triangle ADE \) и окружности радиуса \( R \): \( \frac{AD}{\sin \angle AED} = 2R \).

По теореме синусов для \( \triangle OAD \) и окружности радиуса \( r \): \( \frac{AD}{\sin \angle AOD} = 2r \).

Мы знаем, что \( r = R/\sqrt{3} \).

\( \frac{AD}{\sin \angle AOD} = 2 \frac{R}{\sqrt{3}} \)
\( AD = \frac{2R}{\sqrt{3}} \sin \angle AOD \).

Подставим \( AD = 2R \sin \angle AED \):

\( 2R \sin \angle AED = \frac{2R}{\sqrt{3}} \sin \angle AOD \)
\( \sqrt{3} \sin \angle AED = \sin \angle AOD \).

В \( \triangle ADE \), \( \angle EAD = \angle DAB \) и \( \angle EDA = \angle EDC \).

В \( \triangle OAD \), \( OA=OD=r \). Пусть \( \angle OAD = \angle ODA = \alpha \). Тогда \( \angle AOD = 180^{\circ} - 2\alpha \).

Если \( ABCD \) — цикличная трапеция, то она равнобедренная. \( \angle DAB = \angle ADC \). Пусть \( \angle DAB = \angle ADC = \theta \).

В \( \triangle ADE \), \( \angle EAD = \theta \), \( \angle EDA = \theta \). \( \angle AED = 180^{\circ} - 2\theta \).

В \( \triangle OAD \), \( OA=OD=r \). \( \angle OAD = \angle ODA = \alpha \).

При равнобедренной трапеции \( ABCD \), \( AD \parallel BC \) или \( AB \parallel CD \). В условии сказано, что \( AB \) и \( CD \) продолжены до пересечения, значит, они не параллельны. Следовательно, \( AD \parallel BC \).

Если \( AD \parallel BC \), то \( \angle EAD = \angle DAB = \theta \) и \( \angle EDA = \angle EDC \).

Но \( \triangle ADE \) равнобедренное, значит \( \angle EAD = \angle EDA = \theta \).

Углы \( \angle OAD \) и \( \angle ODA \) — части углов \( \angle EAD \) и \( \angle EDA \) соответственно.

\( \angle OAD = \angle ODA \) и \( OA=OD=r \).

Если \( \angle EAD = \angle EDA = \theta \), то \( \triangle ADE \) равнобедренное.

В \( \triangle ADE \), \( OA = OD = r \). \( \angle OAD = \angle ODA \).

Так как \( O \) лежит на окружности, то \( OA=OB=OC=OD=r \).

Рассмотрим \( \triangle OAD \). \( OA=OD=r \). \( \angle OAD = \angle ODA = \alpha \). \( \angle AOD = 180^{\circ} - 2\alpha \).

Рассмотрим \( \triangle ADE \). \( \angle EAD = \beta \), \( \angle EDA = \gamma \). \( \angle AED = 180^{\circ} - (\beta + \gamma) \).

Из \( \sqrt{3} \sin \angle AED = \sin \angle AOD \), подставим \( \angle AED = 180^{\circ} - (\beta + \gamma) \) и \( \angle AOD = 180^{\circ} - 2\alpha \).

\( \sin (180^{\circ} - (\beta + \gamma)) = \sin (\beta + \gamma) \).

\( \sin (180^{\circ} - 2\alpha) = \sin (2\alpha) \).

\( \sqrt{3} \sin (\beta + \gamma) = \sin (2\alpha) \).

В циклической трапеции \( ABCD \), \( \angle DAB + \angle ABC = 180^{\circ} \) и \( \angle ADC + \angle BCD = 180^{\circ} \).

Если \( AD \parallel BC \), то \( \angle EAD = \angle DAB = \beta \) и \( \angle EDA = \angle EDC \).

Из условия, что \( ABCD \) цикличная, она равнобедренная. \( AB = CD \) и \( \angle DAB = \angle ADC = \theta \).

\( \angle EAD = \theta \), \( \angle EDA = \theta \). \( \triangle ADE \) равнобедренное. \( \angle AED = 180^{\circ} - 2\theta \).

В \( \triangle OAD \), \( OA = OD = r \). \( \angle OAD = \angle ODA = \alpha \). \( \angle AOD = 180^{\circ} - 2\alpha \).

\( \sqrt{3} \sin(180^{\circ} - 2\theta) = \sin(180^{\circ} - 2\alpha) \)
\( \sqrt{3} \sin(2\theta) = \sin(2\alpha) \).

Углы \( \alpha \) и \( \theta \) связаны. \( \angle EAD = \theta \) и \( \angle OAD = \alpha \). Точка \( O \) лежит на биссектрисе угла \( \angle EAD \) если \( AB=AE \).

По условию, \( O \) — центр окружности, проходящей через \( A, B, C, D \).

Угол \( \angle AOD \) — центральный угол. Угол \( \angle ABD \) — вписанный. \( \angle AOD = 2 \angle ABD \) (если \( O \) — центр).

В равнобедренной трапеции \( ABCD \) с \( AD \parallel BC \), \( AB=CD \) и \( \angle DAB = \angle ADC = \theta \).

\( \angle OAD = \angle ODA = \alpha \). \( \angle EAD = \angle DAB = \theta \).

\( \angle EAD = \angle OAD + \angle OAE = \theta \).

В \( \triangle OAD \), \( \angle AOD = 180 - 2\alpha \).

В \( \triangle ADE \), \( \angle AED = 180 - 2\theta \).

\( \sqrt{3} \sin(180 - 2\theta) = \sin(180 - 2\alpha) \)
\( \sqrt{3} \sin(2\theta) = \sin(2\alpha) \).

Точка \( O \) лежит на серединном перпендикуляре к \( AD \).

Пусть \( O \) — центр окружности \( ABCD \). Тогда \( OA=OB=OC=OD=r \).

Рассмотрим \( \triangle OAD \). \( OA=OD=r \). \( \angle OAD = \angle ODA \).

Рассмотрим \( \triangle ADE \). \( E \) — точка пересечения \( AB \) и \( CD \).

Из \( \sqrt{3} \sin(2\theta) = \sin(2\alpha) \).

Если \( \alpha = 30^{\circ} \), \( 2\alpha = 60^{\circ} \), \( \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\( \sqrt{3} \sin(2\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \sin(2\theta) = \frac{1}{2} \).

\( 2\theta = 30^{\circ} \) или \( 2\theta = 150^{\circ} \).

\( \theta = 15^{\circ} \) или \( \theta = 75^{\circ} \).

Если \( \theta = 15^{\circ} \), то \( \angle DAB = \angle ADC = 15^{\circ} \). Это острые углы.

Если \( \theta = 75^{\circ} \), то \( \angle DAB = \angle ADC = 75^{\circ} \). Это острые углы.

По условию, нужно найти острые углы трапеции.

При \( \alpha = 30^{\circ} \), \( \angle AOD = 180^{\circ} - 2(30^{\circ}) = 120^{\circ} \).

При \( \theta = 15^{\circ} \), \( \angle EAD = 15^{\circ} \), \( \angle EDA = 15^{\circ} \). \( \angle AED = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} \).

\( \sqrt{3} \sin(150^{\circ}) = \sqrt{3} \sin(30^{\circ}) = \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\( \sin(2\alpha) = \sin(2 \times 30^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Значит, \( \theta = 15^{\circ} \) и \( \alpha = 30^{\circ} \) — возможное решение.

Острые углы трапеции \( ABCD \) — это \( \angle DAB \) и \( \angle ADC \) (если они острые).

Если \( \theta = 15^{\circ} \), то \( \angle DAB = 15^{\circ} \) и \( \angle ADC = 15^{\circ} \). Эти углы острые.

Проверим \( \theta = 75^{\circ} \). \( 2\theta = 150^{\circ} \). \( \sin(150^{\circ}) = 1/2 \).

\( \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\( \sin(2\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). \( 2\alpha = 60^{\circ} \) или \( 2\alpha = 120^{\circ} \). \( \alpha = 30^{\circ} \) или \( \alpha = 60^{\circ} \).

Если \( \theta = 75^{\circ} \), то \( \angle DAB = \angle ADC = 75^{\circ} \). Это острые углы.

В \( \triangle ADE \), \( \angle EAD = 75^{\circ} \), \( \angle EDA = 75^{\circ} \). \( \angle AED = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \).

Если \( \alpha = 30^{\circ} \), то \( \angle AOD = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

\( \sqrt{3} \sin(30^{\circ}) = \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\( \sin(2\alpha) = \sin(2\times 30^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Если \( \alpha = 60^{\circ} \), то \( \angle AOD = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

\( \sqrt{3} \sin(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\( \sin(2\times 60^{\circ}) = \sin(120^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Итак, есть два случая:

1. \( \theta = 15^{\circ} \), \( \alpha = 30^{\circ} \). Острые углы трапеции: \( 15^{\circ}, 15^{\circ} \).

2. \( \theta = 75^{\circ} \), \( \alpha = 30^{\circ} \) или \( \alpha = 60^{\circ} \).

Если \( \theta = 75^{\circ} \) и \( \alpha = 30^{\circ} \), то \( \angle DAB = 75^{\circ} \) и \( \angle ADC = 75^{\circ} \).

Если \( \theta = 75^{\circ} \) и \( \alpha = 60^{\circ} \), то \( \angle DAB = 75^{\circ} \) и \( \angle ADC = 75^{\circ} \).

В \( \triangle OAD \), \( OA=OD=r \). \( \angle OAD = \angle ODA \). \( \angle EAD = \theta \).

\( \angle OAD = \angle EAD - \angle EAO \).

Если \( ABCD \) — равнобедренная трапеция, то \( \angle DAB = \angle ADC \).

В \( \triangle ADE \), \( E \) — точка пересечения \( AB \) и \( CD \). \( O \) — центр окружности \( ABCD \).

Пусть \( \angle DAB = \beta \) и \( \angle ADC = \gamma \).

В \( \triangle OAD \), \( OA=OD=r \). \( \angle OAD = \angle ODA = \alpha \).

\( \sqrt{3} \sin(\angle AED) = \sin(\angle AOD) \).

\( \angle AOD = 180^{\circ} - 2\alpha \).

\( \angle AED = 180^{\circ} - (\angle EAD + \angle EDA) \).

В равнобедренной трапеции \( ABCD \), \( \angle DAB = \angle ADC = \theta \).

\( \angle EAD = \theta \), \( \angle EDA = \theta \). \( \angle AED = 180^{\circ} - 2\theta \).

\( \sqrt{3} \sin(180^{\circ} - 2\theta) = \sin(180^{\circ} - 2\alpha) \)
\( \sqrt{3} \sin(2\theta) = \sin(2\alpha) \).

Углы \( \alpha \) и \( \theta \) связаны через положение точки \( O \).

Если \( \theta = 75^{\circ} \), то \( 2\theta = 150^{\circ} \), \( \sin(150^{\circ}) = 1/2 \).

\( \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\( \sin(2\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( 2\alpha = 60^{\circ} \) или \( 120^{\circ} \). \( \alpha = 30^{\circ} \) или \( 60^{\circ} \).

Так как \( \triangle ADE \) равнобедренный, \( AE = DE \).

Если \( \alpha = 30^{\circ} \), то \( \angle OAD = 30^{\circ} \).

Если \( \theta = 75^{\circ} \), то \( \angle EAD = 75^{\circ} \).

\( \angle OAE = \angle EAD - \angle OAD = 75^{\circ} - 30^{\circ} = 45^{\circ} \).

В \( \triangle OAE \), \( OA=r \).

Если \( \alpha = 60^{\circ} \), то \( \angle OAD = 60^{\circ} \).

\( \angle OAE = \angle EAD - \angle OAD = 75^{\circ} - 60^{\circ} = 15^{\circ} \).

Рассмотрим случай \( \theta = 75^{\circ} \). Острые углы трапеции: \( 75^{\circ} \) и \( 75^{\circ} \).

Рассмотрим случай \( \theta = 15^{\circ} \). Острые углы трапеции: \( 15^{\circ} \) и \( 15^{\circ} \).

Оба случая дают острые углы.

Если \( \theta = 75^{\circ} \), то \( \angle DAB = 75^{\circ} \) и \( \angle ADC = 75^{\circ} \).

Если \( \theta = 15^{\circ} \), то \( \angle DAB = 15^{\circ} \) и \( \angle ADC = 15^{\circ} \).

Острые углы трапеции — это углы при одном из оснований.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Таким образом, острые углы трапеции могут быть \( 15^{\circ} \) или \( 75^{\circ} \).

Ответ: 15° и 75°.