№1 (теорема косинусов). В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине равен 45°, а боковая сторона равна 4 см. Найдите основание треугольника.

Пусть равные боковые стороны равны 4 см, а угол между ними — 45°. По теореме косинусов для основания:

\(AB^2=4^2+4^2-2\cdot4\cdot4\cos45^\circ\).

Так как \(\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\), получаем \(AB^2=32-16\sqrt2\), поэтому \(AB=\sqrt{32-16\sqrt2}=4\sqrt{2-\sqrt2}\) см.

Ответ: \(4\sqrt{2-\sqrt2}\) см.