1. Теорема о единственности перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной прямой. 2. Неравенство треугольника. 3. На рисунке AB = CD, BD = AC. Докажите, что ZCAD = LADB. Найдите ZABD, если ZACD = 70°.

Решение:

1. Теорема о единственности перпендикуляра:

Из данной точки к данной прямой можно провести только один перпендикуляр.

2. Неравенство треугольника:

Сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

3. Задача с рисунком:

Дано:

• ABCD — трапеция.
• AB = CD (трапеция равнобедренная).
• BD = AC (диагонали равны).
• ∠ACD = 70°.

Доказать: ∠CAD = ∠ADB.

Найти: ∠ABD.

Доказательство:

1. Так как AB = CD, трапеция ABCD равнобедренная.
2. В равнобедренной трапеции диагонали равны: AC = BD.
3. Рассмотрим △ACD и △BDA:
• AC = BD (по условию).
• AD — общая сторона.
• CD = AB (по условию).
4. Следовательно, △ACD = △BDA по трем сторонам (3 признак равенства треугольников).
5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠CAD = ∠ADB. Что и требовалось доказать.

Нахождение ∠ABD:

1. Так как ∠CAD = ∠ADB, а ∠ACD = 70°, то рассмотрим △ACD.
2. Сумма углов △ACD равна 180°.
3. ∠CAD + ∠ADC + ∠ACD = 180°.
4. ∠CAD + ∠ADC + 70° = 180°.
5. ∠CAD + ∠ADC = 110°.
6. В равнобедренной трапеции углы при основании равны: ∠ADC = ∠BAD.
7. ∠ADB + ∠BDC = ∠ADC.
8. Так как ∠CAD = ∠ADB, и ∠ADC = ∠BAC, то ∠BAC = ∠CAD + ∠DAB.
9. Углы ∠CAD и ∠ADB равны. Обозначим их за x.
10. ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = x + ∠BDC.
11. ∠BAC = ∠BAD = ∠BAC.
12. В △ABD: AB = ?, BD = AC.
13. В △ABC: AB = ?, AC = BD.
14. Рассмотрим △ACD и △BCD.
15. ∠CAD = ∠ADB (доказано).
16. ∠ACB = ∠ADB (накрест лежащие при AB || CD и секущей BD). Но это неверно.
17. ∠BAC = ∠BDC (накрест лежащие при AB || CD и секущей AC).
18. ∠CAD = ∠ADB.
19. ∠ADC = ∠BAD.
20. ∠BDC = ∠ACD = 70° (накрест лежащие при BC || AD и секущей AC). Это тоже неверно.
21. Рассмотрим △ABC и △DCB:
• AB = DC (по условию).
• BC — общая сторона.
• AC = DB (по условию).
22. Следовательно, △ABC = △DCB по трем сторонам.
23. Из равенства треугольников следует: ∠ABC = ∠DCB.
24. ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC.
25. ∠DCB = ∠DCA + ∠ACB = 70° + ∠ACB.
26. ∠ABD + ∠DBC = 70° + ∠ACB.
27. Рассмотрим △ABD и △DCA.
• AB = DC (по условию).
• ∠ADB = ∠CAD (доказано).
• AD — общая сторона.
28. Следовательно, △ABD = △DCA по двум сторонам и углу между ними (2 признак равенства треугольников).
29. Из равенства треугольников следует: ∠ABD = ∠DCA = 70°.

Ответ: ∠ABD = 70°.