1. Теплоход прошёл 108 км по течению реки и 84 км против течения, затратив на весь путь 8 ч. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 3 км/ч.

Пусть собственная скорость теплохода равна v км/ч. Тогда скорость по течению — v + 3, а против течения — v − 3 км/ч.

По формуле «время = расстояние ÷ скорость» составим уравнение:

\(\dfrac{108}{v+3}+\dfrac{84}{v-3}=8\), где \(v>3\).

Умножим обе части на \((v+3)(v-3)\):

\(108(v-3)+84(v+3)=8(v^2-9)\).

Раскроем скобки и упростим:

\(192v-72=8v^2-72\),
\(8v^2-192v=0\),
\(8v(v-24)=0\).

Получаем корни \(v=0\) и \(v=24\). Условию \(v>3\) удовлетворяет только \(v=24\).

Проверка: скорости равны 27 км/ч и 21 км/ч; время в пути \(108/27+84/21=4+4=8\) ч.

Ответ: 24 км/ч.