1. Тип 1 № 1548 Вычислите 3- (2/5)^2 + 50^5 / 20^6 : (25/4)^3 . Вариант № 217533

Привет! Давай разберем это задание по математике.

1. Определим предмет и класс:

• Предмет: Математика
• Класс: 9-11 (задание на вычисления с дробями и степенями)

2. Анализ задачи:

Нам нужно вычислить значение выражения, которое содержит дроби, степени и арифметические операции (сложение, умножение, деление). Будем действовать по порядку:

1. Первым делом упростим каждую часть выражения.
2. Затем выполним операции в правильном порядке: сначала умножение и деление, потом сложение.

3. Шаги решения:

• Шаг 1: Вычисляем (2/5)²
• \[ \left( \frac{2}{5} \right)^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25} \]
• Шаг 2: Вычисляем 50⁵ / 20⁶
• Разложим числа 50 и 20 на простые множители:
• \[ 50 = 2 \cdot 5^2 \]
• \[ 20 = 2^2 \cdot 5 \]
• Теперь подставим это в выражение:
• \[ \frac{50^5}{20^6} = \frac{(2 \cdot 5^2)^5}{(2^2 \cdot 5)^6} = \frac{2^5 \cdot (5^2)^5}{(2^2)^6 \cdot 5^6} = \frac{2^5 \cdot 5^{10}}{2^{12} \cdot 5^6} \]
• Используем свойства степеней (a^m / aⁿ = a^m-n):
• \[ \frac{2^5}{2^{12}} = 2^{5-12} = 2^{-7} = \frac{1}{2^7} \]
• \[ \frac{5^{10}}{5^6} = 5^{10-6} = 5^4 \]
• Собираем все вместе:
• \[ \frac{50^5}{20^6} = \frac{5^4}{2^7} = \frac{625}{128} \]
• Шаг 3: Вычисляем (25/4)³
• \[ \left( \frac{25}{4} \right)^3 = \frac{25^3}{4^3} = \frac{(5^2)^3}{(2^2)^3} = \frac{5^6}{2^6} \]
• Шаг 4: Подставляем упрощенные части обратно в исходное выражение.
• Исходное выражение: 3 - (2/5)² + (50⁵ / 20⁶) : (25/4)³
• \[ 3 - \frac{4}{25} + \frac{625}{128} : \frac{5^6}{2^6} \]
• Деление дробей - это умножение на обратную дробь:
• \[ \frac{625}{128} : \frac{5^6}{2^6} = \frac{625}{128} \cdot \frac{2^6}{5^6} \]
• Подставляем значения:
• \[ 625 = 5^4 \]
• \[ 128 = 2^7 \]
• \[ 2^6 \]
• \[ 5^6 \]
• \[ \frac{5^4}{2^7} \cdot \frac{2^6}{5^6} = \frac{5^4 \cdot 2^6}{2^7 \cdot 5^6} \]
• Упрощаем:
• \[ \frac{2^6}{2^7} = 2^{6-7} = 2^{-1} = \frac{1}{2} \]
• \[ \frac{5^4}{5^6} = 5^{4-6} = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \]
• Результат деления:
• \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{25} = \frac{1}{50} \]
• Теперь подставляем все обратно в основное выражение:
• \[ 3 - \frac{4}{25} + \frac{1}{50} \]
• Приводим к общему знаменателю (50):
• \[ \frac{3 \cdot 50}{50} - \frac{4 \cdot 2}{50} + \frac{1}{50} = \frac{150}{50} - \frac{8}{50} + \frac{1}{50} \]
• \[ \frac{150 - 8 + 1}{50} = \frac{143}{50} \]
• Переведем в десятичную дробь:
• \[ \frac{143}{50} = \frac{143 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{286}{100} = 2.86 \]

Ответ: 2.86