1. Тип Д13 № 149 В треугольнике АВС угол C равен 90°, sinA=7/25. Найдите cosA.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по тригонометрии. У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусов. Нам известно, что синус угла A (sin A) равен 7/25. Нужно найти косинус угла A (cos A).

Вспомним основное тригонометрическое тождество:

Для любого угла верно соотношение:

• \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

Где \[ \sin \alpha \]

- это синус угла, а \[ \cos \alpha \]

- косинус угла.

Применим это тождество к нашему углу A:

• \[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \]

Мы знаем, что \[ \sin A = \frac{7}{25} \]

. Подставим это значение в формулу:

• \[ \left(\frac{7}{25}\right)^2 + \cos^2 A = 1 \]

Возведем дробь в квадрат:

• \[ \frac{7^2}{25^2} + \cos^2 A = 1 \]
• \[ \frac{49}{625} + \cos^2 A = 1 \]

Теперь выразим \[ \cos^2 A \]

:

• \[ \cos^2 A = 1 - \frac{49}{625} \]

Приведем единицу к общему знаменателю:

• \[ \cos^2 A = \frac{625}{625} - \frac{49}{625} \]
• \[ \cos^2 A = \frac{625 - 49}{625} \]
• \[ \cos^2 A = \frac{576}{625} \]

Чтобы найти \[ \cos A \]

, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения:

• \[ \cos A = \sqrt{\frac{576}{625}} \]

Извлекаем корни из числителя и знаменателя:

• \[ \cos A = \frac{\sqrt{576}}{\sqrt{625}} \]

Мы знаем, что \[ \sqrt{576} = 24 \]

(так как \[ 24 \times 24 = 576 \]

) и \[ \sqrt{625} = 25 \]

(так как \[ 25 \times 25 = 625 \]

).

• \[ \cos A = \frac{24}{25} \]

В прямоугольном треугольнике все углы (кроме прямого) острые, поэтому косинус будет положительным.

Ответ:

\[ \cos A = \frac{24}{25} \]