1. Точка A не лежит в плоскости треугольника BCD. Точки P, R, S и T — середины отрезков AB, AD, CD и BC соответственно. а) Докажите, что PRST — параллелограмм. б) Найдите AC, если BD = 6 см, а периметр PRST равен 14 см.

а) В треугольнике ABD точки P и R — середины AB и AD. Поэтому средняя линия PR параллельна BD и равна половине BD: PR ∥ BD, PR = BD/2.

В треугольнике BCD точки T и S — середины BC и CD. Поэтому средняя линия TS параллельна BD и равна половине BD: TS ∥ BD, TS = BD/2.

Значит, PR ∥ TS и PR = TS. Четырёхугольник, у которого одна пара противоположных сторон одновременно равна и параллельна, — параллелограмм. Следовательно, PRST — параллелограмм.

б) В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому его периметр равен 2(PR + RS) = 14 см, откуда PR + RS = 7 см.

Так как PR = BD/2 = 3 см, получаем RS = 7 − 3 = 4 см. В треугольнике ACD отрезок RS соединяет середины AD и CD, следовательно, RS — средняя линия: RS = AC/2. Тогда AC = 2 · 4 = 8 см.

Ответ: AC = 8 см.