1. Точка C лежит на отрезке AB, причём AB:BC=4:3. Отрезок CD, равный 12 см, параллелен плоскости α, проходящей через точку B. Докажите, что прямая AD пересекает плоскость в некоторой точке E, и найдите отрезок BE.

Так как точка C лежит на отрезке AB и AB:BC = 4:3, то AC:BC = 1:3, следовательно, AB:AC = 4:1.

Рассмотрим плоскость, содержащую прямые AB и AD. Она пересекает плоскость α по прямой, проходящей через B и параллельной CD: обе плоскости содержат точку B, а CD параллельна α. Прямая AD не параллельна этой линии пересечения, поэтому пересекает её в точке E. Значит, E принадлежит плоскости α.

Поскольку BE параллельна CD, треугольники ABE и ACD подобны. Поэтому \(\frac{BE}{CD}=\frac{AB}{AC}=4\).

\(BE=4\cdot12=48\) см.

Ответ: 48 см.