1. Точка D лежит на отрезке AB, причем BD : BA = 1 : 4. Через точку A проведена плоскость α, через точку D — отрезок DD₁, параллельный α. Прямая BD₁ пересекает плоскость α в точке C. а) Докажите, что треугольник DBD₁ подобен треугольнику ABC; б) Найдите DD₁, если AC = 12 см.

а) Доказательство.

1. Точки A, D и B лежат на одной прямой, поэтому лучи BD и BA совпадают.
2. Точки B, D и D₁ определяют плоскость. Её пересечение с плоскостью α — прямая AC, так как точки A и C принадлежат обеим плоскостям.
3. Отрезок DD₁ параллелен плоскости α и лежит в плоскости BDD₁. Следовательно, DD₁ параллелен линии их пересечения AC: DD₁ ∥ AC.
4. Угол между DB и DD₁ равен углу между BA и AC, а угол между DB₁? Исправим: поскольку B, D, D₁ и B, A, C лежат на соответствующих прямых, имеем ∠DBD₁ = ∠ABC.
5. Также ∠DD₁B = ∠ACB, так как DD₁ ∥ AC, а DD₁ и BD₁ пересекаются в D₁, AC и BC — в C.
6. Следовательно, по двум углам треугольники подобны: △DBD₁ ∼ △BAC, то есть треугольник DBD₁ подобен треугольнику ABC при соответствии D ↔ B, B ↔ A, D₁ ↔ C.

б) Вычисление.

Из подобия треугольников:

\(\dfrac{DD₁}{AC}=\dfrac{BD}{BA}\).

По условию \(\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{1}{4}\), поэтому

\(\dfrac{DD₁}{12}=\dfrac{1}{4}\),

\(DD₁=12:4=3\) см.

Ответ: 3 см.