1. Точка D лежит на отрезке AB, причём BD : BA = 1 : 4. Через точку A проведена плоскость α, через точку D — отрезок DD₁, параллельный α. Прямая BD₁ пересекает плоскость α в точке C. а) Докажите, что треугольник DBD₁ подобен треугольнику ABC. б) Найдите DD₁, если AC = 12 см.

В условии, вероятно, опечатка: поскольку D лежит на отрезке AB, отношение BD : BA = 1 : 4 означает, что BD = BA/4.

а) Так как A, D, B лежат на одной прямой, а B, D₁, C — на одной прямой, угол DBD₁ равен углу ABC. Кроме того, DD₁ параллелен плоскости α, а отрезок AC лежит в α, поэтому DD₁ ∥ AC. Следовательно, углы BDD₁ и BAC равны как углы между соответственно параллельными прямыми. По двум углам треугольники DBD₁ и ABC подобны, с соответствием D ↔ A, B ↔ B, D₁ ↔ C.

б) Из подобия следует \(\frac{DD_1}{AC}=\frac{BD}{BA}=\frac{1}{4}\). Тогда \(DD_1=12\cdot\frac{1}{4}=3\) см.

Ответ: а) треугольники подобны по двум углам; б) 3 см.