1. Точка K лежит на стороне AB, а точка M на стороне CD параллелограмма ABCD, причем AK = KB, CM : MD = 2 : 5. а) Выразите вектор KM через векторы p = AB и q = AD. б) Может ли при каком-нибудь значении x выполняться равенство KM = x · CB?

Обозначим \(\vec p=\overrightarrow{AB}\), \(\vec q=\overrightarrow{AD}\). Тогда \(\overrightarrow{AC}=\vec p+\vec q\).

1. Так как K — середина AB, \(\overrightarrow{AK}=\frac12\vec p\).

2. Точка M делит CD в отношении \(CM:MD=2:5\), поэтому \(\overrightarrow{CM}=\frac27\overrightarrow{CD}=-\frac27\vec p\). Следовательно, \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\frac57\vec p+\vec q\).

3. Тогда \(\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AK}=\left(\frac57-\frac12\right)\vec p+\vec q=\frac{3}{14}\vec p+\vec q\).

В параллелограмме \(\overrightarrow{CB}=-\vec q\). Векторы \(\vec p\) и \(\vec q\) неколлинеарны, а в \(\overrightarrow{KM}\) коэффициент при \(\vec p\) равен \(\frac{3}{14}\ne0\). Поэтому \(\overrightarrow{KM}\) не может быть кратным \(\overrightarrow{CB}\).

Ответ: а) \(\overrightarrow{KM}=\frac{3}{14}\vec p+\vec q\); б) нет.