1. Точка K лежит на стороне AB, а точка M — на стороне CD параллелограмма ABCD, причём AK = KB, а MD : DC = 2 : 5. а) Выразите вектор KM через векторы p = AB и q = AD. б) Может ли при каком-нибудь значении x выполняться равенство KM = x · CB?

а) Так как AK = KB, точка K — середина AB, поэтому \(\overrightarrow{AK}=\frac12\vec p\). По условию \(\overrightarrow{DM}=\frac25\overrightarrow{DC}=\frac25\vec p\), поскольку \(\overrightarrow{DC}=\vec p\).

Выразим вектор KM через путь K → A → D → M:

\(\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}=-\frac12\vec p+\vec q+\frac25\vec p=\vec q-\frac1{10}\vec p.\)

б) В параллелограмме \(\overrightarrow{CB}=-\vec q\). Если бы \(\overrightarrow{KM}=x\overrightarrow{CB}\), то получилось бы \(\vec q-\frac1{10}\vec p=-x\vec q\). Векторы \(\vec p\) и \(\vec q\) неколлинеарны, поэтому коэффициент при \(\vec p\) не может быть равен нулю, как требовало бы это равенство.

Ответ: а) \(\overrightarrow{KM}=\vec q-\frac1{10}\vec p\); б) нет.