1. Точка K лежит на стороне AB треугольника ABC, а точка H — на стороне BC. Известно, что KH ⟂ BC, а биссектриса угла AKC перпендикулярна KH. Найдите BC, если HC = 5.

Так как биссектриса угла AKC и сторона BC перпендикулярны одной и той же прямой KH, то они параллельны.

Поскольку точки A, K, B лежат на одной прямой, лучи KA и KB — противоположные. Поэтому из свойства биссектрисы следует, что углы в прямоугольных треугольниках KHB и KHC при вершине K равны:

\(\angle BKH=\angle HKC\).

Кроме того, \(KH\perp BC\), поэтому треугольники KHB и KHC прямоугольные и имеют общую сторону KH. Следовательно, они равны по катету и острому углу:

\(BH=HC=5\).

Тогда

\(BC=BH+HC=5+5=10\).

Ответ: 10.