1. Точка M не принадлежит плоскости прямоугольника ABCD. Прямая a проходит через точку M и параллельна прямой AC. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков MA и MC, параллельна плоскости прямоугольника.

Пусть P и Q — середины отрезков MA и MC соответственно.

1. Рассмотрим треугольник MAC. По теореме о средней линии треугольника отрезок PQ параллелен AC.
2. Прямая AC лежит в плоскости прямоугольника ABCD, поэтому PQ параллельна прямой, содержащейся в этой плоскости.
3. Точка P не лежит в плоскости ABCD: прямая MA пересекает эту плоскость только в точке A, а P — середина MA, следовательно, P не совпадает с A. Значит, PQ не лежит в плоскости ABCD.

Итак, PQ параллельна прямой AC, лежащей в плоскости ABCD, и сама не лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая PQ параллельна плоскости прямоугольника ABCD.