1. Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Точки E, F, M, K — середины отрезков AB, BC, CD и AD соответственно. а) Докажите, что EFMK — параллелограмм. б) Найдите периметр EFKM, если AC = 6 см, BD = 8 см.

а) Рассмотрим треугольник ABC. Точки E и F — середины его сторон AB и BC, поэтому EF — средняя линия: EF ∥ AC.

В треугольнике ADC точки K и M — середины AD и DC, поэтому KM — средняя линия: KM ∥ AC. Значит, EF ∥ KM.

В треугольнике BCD отрезок FM соединяет середины BC и CD, поэтому FM ∥ BD. В треугольнике ABD отрезок EK соединяет середины AB и AD, поэтому EK ∥ BD. Значит, FM ∥ EK.

У четырёхугольника EFMK обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, EFMK — параллелограмм.

б) По свойству средней линии треугольника: EF = AC / 2 = 3 см и FK = BD / 2 = 4 см. Также KM = AC / 2 = 3 см, а ME = BD / 2 = 4 см. Поэтому периметр EFKM равен 3 + 4 + 3 + 4 = 14 см.

Ответ: а) EFMK — параллелограмм; б) 14 см.