1. Точки А и В делят окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 2:3. Найдите: а) градусные меры этих дуг; б) угол, под которым хорду АВ видно из центра окружности; в) меры вписанных углов, опирающихся на хорду АВ. 2) Углы треугольника АВС, где СА и СВ – касательные к окружности.

Решение:

1. Разбиение окружности:

   Общая сумма градусов в окружности равна 360°.

   Пусть градусная мера одной части дуги равна x. Тогда градусные меры дуг будут 2x и 3x.

   Составляем уравнение:

   2x + 3x = 360°

   5x = 360°

   x = 360° / 5

   x = 72°

   а) Градусные меры дуг:

   • Меньшая дуга: 2 * 72° = 144°
   • Большая дуга: 3 * 72° = 216°

   б) Угол из центра окружности:

   Центральный угол, опирающийся на дугу, равен градусной мере этой дуги.

   • Угол, опирающийся на меньшую дугу (144°), равен 144°.
   • Угол, опирающийся на большую дугу (216°), равен 216°.

   в) Меры вписанных углов:

   Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

   • Вписанный угол, опирающийся на меньшую дугу (144°), равен 144° / 2 = 72°.
   • Вписанный угол, опирающийся на большую дугу (216°), равен 216° / 2 = 108°.
2. Треугольник ABC:

   Дано:

   • Точки A и B на окружности.
   • CA и CB – касательные к окружности в точках A и B соответственно.
   • О – центр окружности.

   Угол ОAC и угол OBC равны 90°, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

   В четырехугольнике OACB сумма углов равна 360°.

   ∠AOB + ∠OAC + ∠ACB + ∠OBC = 360°

   ∠AOB + 90° + ∠ACB + 90° = 360°

   ∠AOB + ∠ACB = 180°

   Мы знаем, что дуга AB, на которую опирается центральный угол ∠AOB, равна 144° (меньшая дуга).

   Следовательно, ∠AOB = 144°.

   Теперь найдем ∠ACB:

   144° + ∠ACB = 180°

   ∠ACB = 180° - 144°

   ∠ACB = 36°

   Теперь найдем углы треугольника ABC. Поскольку CA и CB – касательные, проведенные из одной точки C, то треугольник ABC является равнобедренным (AC = BC).

   Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°.

   ∠CAB + ∠CBA + ∠ACB = 180°

   ∠CAB + ∠CBA + 36° = 180°

   ∠CAB + ∠CBA = 180° - 36°

   ∠CAB + ∠CBA = 144°

   Так как треугольник ABC равнобедренный (AC=BC), то ∠CAB = ∠CBA.

   2 * ∠CAB = 144°

   ∠CAB = 144° / 2

   ∠CAB = 72°

   Следовательно, ∠CBA = 72°.

Ответ:

1. а) Градусные меры дуг: 144° и 216°.
2. б) Угол из центра окружности: 144° (если опирается на меньшую дугу).
3. в) Меры вписанных углов: 72° (опирается на меньшую дугу) и 108° (опирается на большую дугу).
4. Углы треугольника ABC: ∠CAB = 72°, ∠CBA = 72°, ∠ACB = 36°.