1. Точки А, В, С лежат на окружности с центром О, ∠AOB = 80°, дуга AC : дуга BC = 2 : 3. Найдите углы треугольника ABC.

Решение:

1. Находим градусные меры дуг:

1. Полная окружность — 360°.
2. Отношение дуг AC и BC равно 2:3.
3. Пусть дуга AC = 2x, дуга BC = 3x.
4. Угол ∠AOB = 80° — это центральный угол, опирающийся на дугу AB. Следовательно, дуга AB = 80°.
5. Сумма дуг окружности: дуга AC + дуга BC + дуга AB = 360°.
6. 2x + 3x + 80° = 360°.
7. 5x = 360° - 80°.
8. 5x = 280°.
9. x = 280° / 5 = 56°.
10. Дуга AC = 2x = 2 * 56° = 112°.
11. Дуга BC = 3x = 3 * 56° = 168°.

2. Находим углы треугольника ABC:

1. Угол ∠ABC — вписанный, опирается на дугу AC.
2. \[ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AC = \frac{1}{2} \cdot 112° = 56° \]
3. Угол ∠BAC — вписанный, опирается на дугу BC.
4. \[ \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BC = \frac{1}{2} \cdot 168° = 84° \]
5. Угол ∠ACB — вписанный, опирается на дугу AB.
6. \[ \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB = \frac{1}{2} \cdot 80° = 40° \]
7. Проверка: Сумма углов треугольника: 56° + 84° + 40° = 180°.

Ответ: Углы треугольника ABC равны 56°, 84°, 40°.