1. Точки D и E — середины сторон AB и BC треугольника ABC, а точки M и N лежат на стороне AC, причём AM = MN = NC, \(\overrightarrow{AM}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\). а) Выразите векторы \(\overrightarrow{AE}\), \(\overrightarrow{BN}\), \(\overrightarrow{EN}\) через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\). б) Докажите с помощью векторов, что \(BN\parallel DM\).

Так как D — середина AB и \(\overrightarrow{AD}=\vec b\), то \(\overrightarrow{AB}=2\vec b\). Из условия \(\overrightarrow{AM}=\vec a\) и равенства AM = MN = NC получаем \(\overrightarrow{AC}=3\vec a\), а \(\overrightarrow{AN}=2\vec a\).

а)

1. E — середина BC, поэтому \(\overrightarrow{AE}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\vec b+\frac32\vec a\).
2. \(\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}=-2\vec b+2\vec a=2(\vec a-\vec b)\).
3. \(\overrightarrow{EN}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AE}+2\vec a=\frac12\vec a-\vec b\).

б) Поскольку D — середина AB, \(\overrightarrow{AD}=\vec b\); также \(\overrightarrow{AM}=\vec a\). Тогда

\(\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}=-\vec b+\vec a=\vec a-\vec b\).

Из пункта а) \(\overrightarrow{BN}=2(\vec a-\vec b)=2\overrightarrow{DM}\). Векторы направлены одинаково и пропорциональны, следовательно, прямые BN и DM параллельны.