1. Точки K и L — середины диагоналей AC и BD трапеции ABCD. Докажите, что \(\overrightarrow{LK}=\frac12(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA})\).

Обозначим радиус-векторы точек через \(\vec A,\vec B,\vec C,\vec D\). Так как K и L — середины диагоналей,

\(\vec K=\frac{\vec A+\vec C}{2},\qquad \vec L=\frac{\vec B+\vec D}{2}.\)

По определению вектора, соединяющего две точки,

\(\overrightarrow{LK}=\vec K-\vec L=\frac{\vec A+\vec C-\vec B-\vec D}{2}.\)

Сгруппируем слагаемые:

\(\overrightarrow{LK}=\frac12\bigl((\vec C-\vec B)+(\vec A-\vec D)\bigr)=\frac12\bigl(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}\bigr).\)

Следовательно, требуемое равенство доказано.