1. Точки M и N лежат на сторонах AD и BC соответственно параллелограмма ABCD, причём AM : MD = 2 : 1, а BN : NC = 3 : 2. а) Выразите вектор MN через векторы p = AB и q = AD. б) Может ли при каком-нибудь значении y выполняться равенство MN = y · AB?

а) Так как AM : MD = 2 : 1, весь отрезок AD состоит из трёх равных частей, поэтому \(\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\vec q\).

В параллелограмме \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec q\). Из отношения BN : NC = 3 : 2 следует \(\overrightarrow{BN}=\frac{3}{5}\vec q\).

Следовательно, \(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\vec p+\frac{3}{5}\vec q\), и

\[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\vec p+\left(\frac{3}{5}-\frac{2}{3}\right)\vec q=\vec p-\frac{1}{15}\vec q.\]

б) Векторы \(\vec p\) и \(\vec q\) неколлинеарны, поскольку это векторы соседних сторон параллелограмма. В выражении для \(\overrightarrow{MN}\) коэффициент при \(\vec q\) равен \(-\frac{1}{15}\), а не нулю. Поэтому \(\overrightarrow{MN}\) не может быть кратен \(\vec p\).

Ответ: а) \(\overrightarrow{MN}=\vec p-\frac{1}{15}\vec q\); б) нет, такого значения \(y\) не существует.