1. Точки M и N — середины сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Выразите вектор AC через векторы m = AM и n = AN.

Пусть A — начало отсчёта, а векторы сторон AB и AD обозначим через b и d. Тогда, поскольку M — середина BC, вектор AM = b + d/2. Поскольку N — середина CD, вектор AN = b/2 + d.

Складываем равенства: m + n = 3(b + d)/2. При этом вектор AC = b + d. Следовательно, m + n = 3AC/2, откуда

\[\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}(\vec m+\vec n).\]

Ответ: \(\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}(\vec m+\vec n)\).