1. Трапеция ABCD (AD ∥ BC) лежит в плоскости α, AD = 12 см, BC = 6 см. Отрезок MN — средняя линия трапеции. Вне плоскости α выбрали точку E и на отрезке EN отметили такую точку P, что EP : PN = 1 : 2 (рис. 41). Постройте точку K пересечения плоскости BPC с прямой ME и найдите длину отрезка KP.

Пусть β — плоскость BPC, а γ — плоскость EMN. Плоскость β пересекает плоскость α по прямой BC, а γ — по прямой MN. Поскольку MN ∥ BC, линия пересечения β и γ проходит через P параллельно MN. Она пересекает прямую ME в точке K.

Так как EP : PN = 1 : 2, то EP / EN = 1 / 3. Из подобия треугольников EPK и ENM, поскольку KP ∥ MN, следует:

\(\frac{KP}{MN}=\frac{EP}{EN}=\frac{1}{3}\).

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

\(MN=\frac{AD+BC}{2}=\frac{12+6}{2}=9\) см.

Тогда \(KP=\frac{1}{3}\cdot 9=3\) см. Также \(EK/EM=1/3\), поэтому точку K можно построить на ME так, чтобы \(MK:KE=2:1\).

Ответ: точка K лежит на ME так, что MK:KE = 2:1; KP = 3 см.