1. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 113°. Ответ дайте в градусах. 2. Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 79°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах. 3. В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 86°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. 4. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 38°, угол CAD равен 33°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. 5. Сторона квадрата равна 62. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат. 6. Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 32. Найдите высоту этой трапеции. 7. Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 4, BC = 12, CD = 21. Найдите AD. 8. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 34√2. Найдите длину стороны этого квадрата. 9. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 4√3. Найдите длину стороны этого треугольника. 10. Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 68°. Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Задание 1. Угол ACB

Решение:

Центральный угол \( < AOB \) равен удвоенному вписанному углу \( < ACB \), опирающемуся на ту же дугу AB.

\( < ACB = \frac{1}{2} < AOB \)

\( < ACB = \frac{1}{2} < 113^\circ = 56.5^\circ \)

Ответ: 56.5

Задание 2. Угол AOD

Решение:

Угол \( < ACB \) является вписанным и опирается на дугу AB. Следовательно, дуга AB равна \( 2 < ACB \).

Дуга AB = \( 2 < 79^\circ = 158^\circ \).

Угол \( < AOD \) — центральный угол, опирающийся на дугу AD. Дуга AD равна \( 180^\circ \) (так как AC — диаметр).

Угол \( < AOD \) равен дуге AD.

Так как AC и BD — диаметры, то дуга AB = дуга CD = \( 158^\circ \).

Сумма углов в окружности равна \( 360^\circ \).

Дуга AD = \( 360^\circ - (дуга AB + дуга CD) \)? Нет, это неверно.

Угол \( < AOD \) является центральным и опирается на дугу AD. AC и BD — диаметры, поэтому дуга ABD = \( 180^\circ \).

Угол \( < ACB = 79^\circ \) опирается на дугу AB. Значит, дуга AB = \( 2 < 79^\circ = 158^\circ \).

Угол \( < CAD \) опирается на дугу CD. Угол \( < CBD \) опирается на дугу CD.

Угол \( < BAC \) опирается на дугу BC. Угол \( < BDC \) опирается на дугу BC.

Угол \( < ADB \) опирается на дугу AB. \( < ADB = < ACB = 79^\circ \) - Неверно. Углы, опирающиеся на одну дугу равны.

Правильное решение:

Угол \( < ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Следовательно, величина дуги AB равна \( 2 < ACB \).

Дуга AB = \( 2 < 79^\circ = 158^\circ \).

AC — диаметр, поэтому дуга ABC = \( 180^\circ \).

\( < ABC = 90^\circ \) (вписанный угол, опирающийся на диаметр).

Угол \( < BOC \) — центральный, опирается на дугу BC. \( < BAC \) — вписанный, опирается на дугу BC.

Угол \( < AOD \) и \( < BOC \) — вертикальные углы, поэтому \( < AOD = < BOC \).

Дуга BC = \( 180^\circ - дуга AB \) (так как AC — диаметр) - это неверно.

AC — диаметр, значит дуга ABC = \( 180^\circ \). Дуга BC = \( 180^\circ - дуга AB \) = \( 180^\circ - 158^\circ = 22^\circ \).

Тогда центральный угол \( < BOC = 22^\circ \).

Угол \( < AOD \) равен \( < BOC \) как вертикальные углы. Следовательно, \( < AOD = 22^\circ \).

Ответ: 22

Задание 3. Угол ACB

Решение:

Центральный угол \( < AOD \) равен \( 86^\circ \).

Вписанный угол \( < ACB \) опирается на дугу AB. Дуга AB равна дуге CD, так как AC и BD — диаметры.

Угол \( < AOD \) опирается на дугу AD. Следовательно, дуга AD = \( 86^\circ \).

Дуга AB + Дуга BD = \( 180^\circ \) (полуокружность).

Дуга AB = \( 180^\circ - Дуга AD \) (если A, O, C лежат на одной прямой).

Правильное решение:

Центральный угол \( < AOD \) равен \( 86^\circ \). Этот угол опирается на дугу AD. Значит, дуга AD = \( 86^\circ \).

AC — диаметр, поэтому дуга ABC = \( 180^\circ \).

Дуга AB = \( 180^\circ - дуга BC \).

Угол \( < ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Нам нужно найти величину дуги AB.

Так как AC и BD — диаметры, то дуга AD = дуга BC (вертикальные центральные углы \( < AOD \) и \( < BOC \) равны \( 86^\circ \), значит, дуги, на которые они опираются, равны).

Дуга AD = \( 86^\circ \).

Дуга BC = \( 86^\circ \).

Сумма дуг в окружности \( 360^\circ \).

Дуга AB + Дуга BC + Дуга CD + Дуга AD = \( 360^\circ \).

\( < AOD = 86^\circ \) => дуга AD = \( 86^\circ \).

\( < BOC = 86^\circ \) => дуга BC = \( 86^\circ \).

Дуга AB = \( 360^\circ - (86^\circ + 86^\circ) = 360^\circ - 172^\circ = 188^\circ \).

Вписанный угол \( < ACB \) равен половине дуги AB.

\( < ACB = \frac{1}{2} < 188^\circ = 94^\circ \).

Ответ: 94

Задание 4. Угол ABD

Решение:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC = \( 38^\circ \).

Угол CAD = \( 33^\circ \). Этот угол опирается на дугу CD.

Значит, величина дуги CD = \( 2 < CAD = 2 < 33^\circ = 66^\circ \).

Угол ABD — вписанный угол, опирающийся на дугу AD.

Угол ABC = \( 38^\circ \) — вписанный, опирается на дугу ADC. Значит, дуга ADC = \( 2 < 38^\circ = 76^\circ \).

Дуга ADC = Дуга AD + Дуга CD.

\( 76^\circ = Дуга AD + 66^\circ \).

Дуга AD = \( 76^\circ - 66^\circ = 10^\circ \).

Угол ABD — вписанный, опирается на дугу AD.

\( < ABD = \frac{1}{2} < Дуга AD = \frac{1}{2} < 10^\circ = 5^\circ \).

Ответ: 5

Задание 5. Радиус вписанной окружности в квадрат

Решение:

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата.

Сторона квадрата \( a = 62 \).

Радиус \( r = \frac{a}{2} \).

\( r = \frac{62}{2} = 31 \).

Ответ: 31

Задание 6. Высота равнобедренной трапеции

Решение:

В равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, высота равна диаметру вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности \( r = 32 \).

Диаметр \( d = 2r = 2 < 32 = 64 \).

Высота трапеции \( h = d = 64 \).

Ответ: 64

Задание 7. Сторона AD описанной трапеции

Решение:

Для четырехугольника, описанного около окружности, выполняется свойство: суммы длин противоположных сторон равны.

\( AB + CD = BC + AD \).

Дано: \( AB = 4 \), \( BC = 12 \), \( CD = 21 \).

\( 4 + 21 = 12 + AD \).

\( 25 = 12 + AD \).

\( AD = 25 - 12 = 13 \).

Ответ: 13

Задание 8. Длина стороны квадрата

Решение:

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата.

Радиус \( R = 34 \).

Диагональ квадрата \( d = 2R = 2 < 34 = 68 \).

Диагональ квадрата связана со стороной \( a \) соотношением \( d = a \).

\( a = 68 \).

\( a = 68 \).

Ответ: 68

Задание 9. Длина стороны равностороннего треугольника

Решение:

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен \( R = \frac{a}{} \), где \( a \) — сторона треугольника.

Дано: \( R = 4 \).

\( 4 = \frac{a}{} \).

Умножим обе части на \( \):

\( 4 < = a \).

\( a = 4 < 2 = 8 \).

Ответ: 8

Задание 10. Угол B трапеции

Решение:

Трапеция ABCD вписана в окружность, значит, она является равнобедренной.

Угол A = \( 68^\circ \).

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Углы при основании AD равны \( 68^\circ \).

Углы при основании BC также равны.

Сумма углов трапеции равна \( 360^\circ \).

\( < A + < B + < C + < D = 360^\circ \).

\( 68^\circ + < B + < C + 68^\circ = 360^\circ \).

\( < B + < C = 360^\circ - 136^\circ = 224^\circ \).

В равнобедренной трапеции углы при боковых сторонах в сумме дают \( 180^\circ \).

\( < A + < B = 180^\circ \) (если AB и CD — боковые стороны).

\( 68^\circ + < B = 180^\circ \).

\( < B = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ \).

Ответ: 112