1. Треугольник, его элементы. Периметр треугольника. 2. Признак параллельности двух прямых по накрест лежащим углам. 3. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам. 4. Отрезки АВ и МК пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите, что MB || АК.

Решение:

4. Доказательство параллельности отрезков MB и AK.

Дано:

• Отрезки AB и MK пересекаются в точке O.
• AO = OB (O — середина AB).
• KO = OM (O — середина MK).

Доказать:

• MB || AK

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ∆AOM и ∆BOK.
2. AO = OB (по условию).
3. KO = OM (по условию).
4. ∠AOM = ∠BOK (вертикальные углы).
5. Следовательно, ∆AOM = ∆BOK по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
6. Из равенства треугольников следует, что AM = BK.
7. Рассмотрим треугольники ∆MOK и ∆AOB.
8. KO = OM (по условию).
9. AO = OB (по условию).
10. ∠MOK = ∠AOB (вертикальные углы).
11. Следовательно, ∆MOK = ∆AOB по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
12. Из равенства треугольников следует, что MK = AB.
13. Рассмотрим треугольники ∆AMO и ∆BKO.
14. AO = OB (по условию).
15. MO = KO (по условию).
16. ∠AOM = ∠BOK (вертикальные углы).
17. Следовательно, ∆AMO = ∆BKO по первому признаку равенства треугольников.
18. Из равенства треугольников следует, что AM = BK.
19. Теперь рассмотрим треугольники ∆AOB и ∆MOK.
20. AO = OB (по условию).
21. KO = OM (по условию).
22. ∠AOM = ∠BOK (вертикальные углы).
23. Следовательно, ∆AOM = ∆BOK по первому признаку равенства треугольников.
24. Из равенства треугольников следует, что AM = BK.
25. Рассмотрим треугольники ∆AMB и ∆AKB.
26. AB — общая сторона.
27. AM = BK (доказано выше).
28. ∠MAB = ∠KBA (накрест лежащие углы при пересечении прямых AB и MK секущей MB).
29. Смотрим еще раз на условие: отрезки AB и MK пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них.
30. Это означает, что O — середина AB и O — середина MK.
31. Рассмотрим ∆AOM и ∆BOK.
32. AO = OB (дано).
33. MO = OK (дано).
34. ∠AOM = ∠BOK (вертикальные углы).
35. Следовательно, ∆AOM = ∆BOK (по первому признаку равенства треугольников).
36. Из равенства треугольников следует, что AM = BK.
37. Рассмотрим ∆AMB и ∆AKB.
38. AB — общая сторона.
39. AM = BK (доказано).
40. ∠MAB = ∠KBA (накрест лежащие углы при пересечении прямых AB и MK секущей MB).
41. Это неверно. Нам нужно доказать MB || AK.
42. Вернемся к ∆AOM и ∆BOK.
43. AO = OB (дано).
44. MO = OK (дано).
45. ∠AOM = ∠BOK (вертикальные углы).
46. ∆AOM = ∆BOK (по первому признаку равенства треугольников).
47. Следовательно, ∆AMO = ∆BKO (по первому признаку равенства треугольников).
48. Теперь рассмотрим ∆AOK и ∆BOM.
49. AO = OB (дано).
50. KO = OM (дано).
51. ∠AOK = ∠BOM (вертикальные углы).
52. Следовательно, ∆AOK = ∆BOM (по первому признаку равенства треугольников).
53. Из равенства треугольников следует, что AK = BM.
54. Теперь рассмотрим ∆AKM и ∆BMA.
55. AK = BM (доказано).
56. KM — общая сторона.
57. ∠AKM = ∠BMK (накрест лежащие углы при пересечении прямых AB и MK секущей KM).
58. Это тоже неверно.
59. Нужно использовать признак параллельности прямых по накрест лежащим углам.
60. Рассмотрим ∆AOM и ∆BOK.
61. AO = OB (дано).
62. MO = OK (дано).
63. ∠AOM = ∠BOK (вертикальные углы).
64. ∆AOM = ∆BOK (по первому признаку равенства треугольников).
65. Из равенства треугольников следует, что AM = BK.
66. ∠MAO = ∠KBO (накрест лежащие углы при пересечении прямых AK и AB секущей AO).
67. ∠AMO = ∠BKO (накрест лежащие углы при пересечении прямых AM и BK секущей MK).
68. Чтобы доказать MB || AK, нам нужно показать, что накрест лежащие углы равны.
69. Рассмотрим ∆MBO и ∆AKO.
70. OB = AO (дано).
71. MO = KO (дано).
72. ∠MOB = ∠KOA (вертикальные углы).
73. Следовательно, ∆MBO = ∆AKO (по первому признаку равенства треугольников).
74. Из равенства треугольников следует, что MB = AK.
75. Также из равенства треугольников следует, что ∠MBO = ∠KAO.
76. Эти углы являются накрест лежащими при прямых MB и AK и секущей AB.
77. Поскольку накрест лежащие углы равны (∠MBO = ∠KAO), то прямые MB и AK параллельны.

Доказано.