1. Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку CD, пересекает плоскости данных треугольников.

Обозначим плоскости треугольников ABC и ABD через α и β соответственно. Они различны, а их общие точки A и B лежат на прямой AB, следовательно, α и β пересекаются по прямой AB.

1. Точки C и D не лежат на AB: иначе соответствующий треугольник был бы вырожденным. Поэтому CD не параллелен AB и пересекает AB в некоторой точке O при продолжении прямых.
2. Поскольку O принадлежит прямой CD, лежащей в плоскости α ∨ β, и одновременно принадлежит AB, точка O лежит в обеих плоскостях α и β.
3. Пусть l — любая прямая, параллельная CD. Прямая CD пересекает α в точке C, поэтому l не может быть параллельна α: иначе две параллельные прямые CD и l имели бы общую точку C, а значит, совпали бы, что невозможно, поскольку D не лежит в α. Следовательно, l пересекает α.
4. Аналогично, CD пересекает β в точке D, тогда как C не лежит в β. Поэтому l не параллельна β и пересекает β.

Что и требовалось доказать.