1. Треугольники ABC и ADC лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону AC. Точка P — середина стороны AD, точка K — середина DC. а) Каково взаимное расположение прямых PK и AB? б) Чему равен угол между прямыми PK и AB, если ∠ABC = 40° и ∠BCA = 80°? Ответ обоснуйте.

а) В треугольнике ADC точки P и K — середины сторон AD и DC. По теореме о средней линии треугольника прямая PK параллельна AC. Поскольку треугольники лежат в разных плоскостях, а их общая сторона — AC, прямая AB пересекает AC в точке A и не лежит в плоскости ADC. Следовательно, PK и AB не пересекаются и не параллельны, то есть это скрещивающиеся прямые.

б) Угол между скрещивающимися прямыми равен острому углу между пересекающимися прямыми, параллельными им. Через A проведём прямую, параллельную PK; она параллельна AC. Угол между этой прямой и AB равен углу между AC и AB, то есть ∠BAC.

По сумме углов треугольника ABC:

∠BAC = 180° − 40° − 80° = 60°.

Ответ: а) прямые PK и AB скрещиваются; б) угол между ними равен 60°.