1. Три экскаватора разной производительности роют котлован. Работа будет выполнена, если каждый проработает 12 часов. Она также будет выполнена, если первый проработает 8 часов, второй — 16, а третий — 10. Сколько часов должен проработать второй экскаватор, чтобы завершить работу, если до него первый проработал 10 часов, а третий — 11?

Решение:

Обозначим производительность экскаваторов как \( V_1, V_2, V_3 \) м³/час. Работа, которую должен выполнить каждый экскаватор, равна \( A \) м³.

Из условия, что каждый проработает 12 часов: \( A = V_1 \cdot 12 = V_2 \cdot 12 = V_3 \cdot 12 \), следовательно \( V_1 = V_2 = V_3 = \frac{A}{12} \) м³/час.

Также работа будет выполнена, если: \( A = V_1 \cdot 8 + V_2 \cdot 16 + V_3 \cdot 10 \).

Подставим \( V_1 = V_2 = V_3 = \frac{A}{12} \):

\[ A = \frac{A}{12} \cdot 8 + \frac{A}{12} \cdot 16 + \frac{A}{12} \cdot 10 \]

\[ A = \frac{8A}{12} + \frac{16A}{12} + \frac{10A}{12} \]

\[ A = \frac{(8 + 16 + 10)A}{12} = \frac{34A}{12} \]

Это условие выполняется, если \( 1 = \frac{34}{12} \), что неверно. Значит, экскаваторы имеют разную производительность.

Из условия \( V_1 = V_2 = V_3 = \frac{A}{12} \) следует, что работа равна \( 12 \) «единицам работы» (если принять объём работы равным 1). Тогда производительность каждого \( \frac{1}{12} \) работы в час.

Пусть \( P_1, P_2, P_3 \) — производительность экскаваторов. Тогда \( P_1 · 12 = P_2 · 12 = P_3 · 12 \). Это означает, что производительность экскаваторов одинакова, что противоречит условию