1. Три точки расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. Можно ли выбрать ещё одну точку, равноудалённую от всех остальных?

Три точки образуют равносторонний треугольник.

Проведём серединные перпендикуляры к двум его сторонам. Они пересекутся в точке, равноудалённой от концов обеих сторон. Эта точка также равноудалена от третьей вершины.

Ответ: да, можно. Такая точка — центр описанной окружности треугольника.