1. Царь поручил гонцу передать приказ в одно из княжеств, расположенных на расстоянии 420 км от столицы. Гонец надел сапоги-скороходы и поспешил в дорогу, но первую половину пути из-за дождя он бежал со скоростью на 40% меньше запланированной. Дождь закончился, гонец смог увеличить скорость и бежал вторую половину пути со скоростью на 40% больше запланированной. Однако он всё-таки опоздал к намеченному сроку на 4 часа. С какой скоростью изначально планировал бежать гонец в сапогах-скороходах, чтобы успеть передать приказ царя в намеченное время? Ответ дайте в км/ч.

Пусть запланированная скорость равна v км/ч. Тогда плановое время в пути — \(420/v\) ч.

Половина пути составляет 210 км. Фактические скорости на первой и второй половинах равны соответственно \(0.6v\) и \(1.4v\).

Фактическое время в пути: \(210/(0.6v)+210/(1.4v)=350/v+150/v=500/v\) ч.

Гонец опоздал на 4 часа, поэтому \(500/v-420/v=4\), откуда \(80/v=4\) и \(v=20\).

Ответ: 20 км/ч.