1. Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АС. Найдите радиус этой окружности, если косинус угла В равен 0,8, а АС = 24. 2. Дана треугольная пирамида SABC с вершиной S, и в основании которой лежит правильный треугольник АВС. Отрезки АМ, BN и CP — медианы, точка О — точка пересечения медиан. Отрезок SO перпендикулярен плоскости основания. Выберите из предложенного списка пары перпендикулярных прямых. 1) прямые SA и AC 2) прямые SA и SM 3) прямые AC и CP 4) прямые SM и BC 5) прямые PO и NA

Задание 1. Окружность, описанная около треугольника

Дано:

• Центр окружности лежит на стороне АС.
• cos В = 0,8.
• АС = 24.

Найти: радиус описанной окружности.

Решение:

Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром окружности. В данном случае это сторона АС.

Диаметр описанной окружности равен d = АС = 24.

Радиус окружности равен половине диаметра:

\( R = \frac{d}{2} = \frac{24}{2} = 12 \)

Значение косинуса угла В (0,8) в данном случае является избыточной информацией и не требуется для решения.

Ответ: 12.

Задание 2. Перпендикулярные прямые в пирамиде

Дано:

• Пирамида SABC, основание — правильный треугольник ABC.
• S — вершина, SO — высота.
• AM, BN, CP — медианы, O — точка пересечения медиан.

Найти: пары перпендикулярных прямых из списка.

Решение:

Проверим каждую пару:

1. SA и AC: Угол между ними не обязательно прямой. SA — боковое ребро, AC — сторона основания.
2. SA и SM: SM — медиана в треугольнике SBC. Угол между SA и SM не обязательно прямой.
3. AC и CP: CP — медиана в треугольнике ABC. Угол между AC и CP не обязательно прямой.
4. SM и BC: SM — медиана равнобедренного треугольника SBC (так как SB = SC, так как пирамида правильная). В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является высотой. Следовательно, SM ⊥ BC.
5. PO и NA: NA — медиана в треугольнике ABC. PO — отрезок, соединяющий точку пересечения медиан основания (O) с точкой P (середина AB). PO является средней линией треугольника ABC, параллельной AC. NA — медиана, идущая к стороне BC. Угол между PO и NA не обязательно прямой.

Обоснование для пары (SM, BC):

Треугольник SBC является равнобедренным, так как SB = SC (боковые ребра правильной пирамиды равны).

SM — медиана, проведенная к основанию BC.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой.

Следовательно, SM ⊥ BC.

Ответ: 4.