1. Центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 12:5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см. Найдите радиус вписанной окружности.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC = 60 см. BH — высота, проведённая к основанию AC. O — центр вписанной окружности. Точка O лежит на высоте BH.

По условию, центр вписанной окружности делит высоту BH в отношении 12:5, считая от вершины B. Значит, BO : OH = 12 : 5.

Пусть BO = 12x, а OH = 5x. Тогда высота BH = BO + OH = 12x + 5x = 17x.

OH — это радиус вписанной окружности (r). Значит, r = 5x.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора: AB² = AH² + BH².

AH = AC / 2 = 60 / 2 = 30 см.

BH = 17x.

60² = 30² + (17x)²

3600 = 900 + 289x²

2700 = 289x²

x² = 2700 / 289

x = \(\sqrt{\frac{2700}{289}} = \frac{\sqrt{2700}}{\sqrt{289}} = \frac{30\sqrt{3}}{17}\)

Теперь найдём радиус вписанной окружности r:

r = 5x = 5 \(\cdot \frac{30\sqrt{3}}{17} = \frac{150\sqrt{3}}{17}\) см.

Ответ: \(\frac{150\sqrt{3}}{17}\) см.