1. UAC = 135°, UCB = 145°, O — центр окружности (рис. 1). Тогда: a) UAB = 80°; ∠α = 80°; ∠B = 40°; б) AB = 20°; ∠α = 40°; ∠B = 40°; в) UAB = 90°; ∠α = 45°; ∠β = 980°; г) AB = 80°; Δ∠α = 40°; ∠B = 80°. 2. Лучи AB и AC касаются окружности с центром O в точках B и C, ∠OBC = 34° (рис. 2). Найдите ∠BAC. 3. Из точки A, взятой вне окружности, проведены касательная AB (B — точка касания) и секущая AD (C и D — точки пересечения с окружностью, C∈AD). Найдите угол DAB, если ∠CB = 50°, ∠DB = 70°. 4. На рисунке 3 СК = 2 см, KD = 9 см, AK: KB = 1:2. Найдите длину хорды AB. 5. AB — общая касательная к двум касающимся окружностям радиусами 9 см и 16 см, A и B — точки касания (рис. 4). Найдите длину отрезка AB.

Задание 1. Углы в окружности

Это задание состоит из нескольких подпунктов, где нужно найти углы, основываясь на данных центрального угла. В общем случае, если есть центральный угол, то вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине центрального угла. Также, сумма углов в треугольнике равна 180 градусов.

a) Если \( ∠ UAC = 135^° \) и \( ∠ UCB = 145^° \), то сумма этих углов равна \( 135^° + 145^° = 280^° \). Полный круг — \( 360^° \). Значит, дуга \( AB \) равна \( 360^° - 280^° = 80^° \). Следовательно, \( ∠ AOB = 80^° \). Если \( ∠ AOB = 80^° \), то \( ∠ ACB = 80^° / 2 = 40^° \). По условию \( ∠ OAB = 80^° \) и \( ∠ OBA = 40^° \). Это противоречит тому, что \( OA = OB \) (радиусы), и \( ∆ OAB \) должен быть равнобедренным. При \( ∠ OAB = 80^° \) и \( ∠ OBA = 40^° \) сумма углов в \( ∆ OAB \) равна \( 80^° + 40^° + ∠ AOB = 180^° \), откуда \( ∠ AOB = 60^° \). Но по условию \( ∠ UAC = 135^° \), \( ∠ UCB = 145^° \), что дает дугу \( AB = 80^° \). Следовательно, подпункт а) неверен, так как углы в \( ∆ OAB \) не соответствуют равнобедренному треугольнику с основанием \( AB \).

б) Если \( ∠ UAB = 20^° \), \( ∠ α = 40^° \), \( ∠ β = 40^° \). Это означает, что \( ∠ AOB = ∠ α + ∠ β = 40^° + 40^° = 80^° \). Тогда \( ∠ ACB = 80^° / 2 = 40^° \). В \( ∆ OAB \) \( OA = OB \), значит \( ∠ OAB = ∠ OBA = (180^° - 80^°)/2 = 50^° \). Но по условию \( ∠ OAB = 20^° \). Подпункт б) неверен.

в) Если \( ∠ UAB = 90^° \), \( ∠ α = 45^° \), \( ∠ β = 980^° \). Угол \( ∠ β = 980^° \) некорректен, так как углы в треугольнике меньше \( 180^° \). Подпункт в) неверен.

г) Если \( ∠ AB = 80^° \), \( ∠ α = 40^° \), \( ∠ β = 80^° \). Это означает, что дуга \( AB = 80^° \). Следовательно, \( ∠ AOB = 80^° \). В \( ∆ OAB \), \( OA = OB \), значит \( ∠ OAB = ∠ OBA = (180^° - 80^°)/2 = 50^° \). Условие \( ∠ α = 40^° \) и \( ∠ β = 80^° \) не соответствует \( ∆ OAB \). Подпункт г) неверен.

Примечание: В условиях задания 1 присутствуют ошибки и противоречия, что не позволяет дать однозначный ответ на основе представленных данных.

Задание 2. Угол при касательных

Дано:

• Лучи AB и AC касаются окружности в точках B и C.
• \( ∠ OBC = 34^° \).

Найти: \( ∠ BAC \).

Решение:

1. Рассмотрим \( ∆ OBC \). Так как \( OB = OC \) (радиусы), то \( ∆ OBC \) — равнобедренный. Следовательно, \( ∠ OCB = ∠ OBC = 34^° \).
2. Найдем центральный угол \( ∠ BOC \): \[ ∠ BOC = 180^° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180^° - (34^° + 34^°) = 180^° - 68^° = 112^° \].
3. Вписанный угол \( ∠ BAC \) равен половине центрального угла \( ∠ BOC \), который опирается на ту же дугу BC: \[ ∠ BAC = ∠ BOC / 2 = 112^° / 2 = 56^° \].

Ответ: \( ∠ BAC = 56^° \).

Задание 3. Касательная и секущая

Дано:

• AB — касательная к окружности в точке B.
• AD — секущая, пересекающая окружность в точках C и D (C лежит между A и D).
• \( ∠ CB = 50^° \).
• \( ∠ DB = 70^° \).

Найти: \( ∠ DAB \).

Решение:

1. \( ∠ DAB \) — угол между касательной и хордой. По теореме об угле между касательной и хордой, этот угол равен половине дуги, которую он высекает. Дуга BC равна \( ∠ DAB \).
2. \( ∠ DBC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу DC. \( ∠ DBC = ∠ DCB \) (ошибочное утверждение, \( ∠ DBC \) опирается на дугу DC).
3. \( ∠ DBC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу DC. \( ∠ DAB \) — угол между касательной AB и хордой DB. \( ∠ DAB = ∠ DCB \) (по теореме об угле между касательной и хордой).
4. \( ∠ CBD \) — вписанный угол, опирающийся на дугу CD. \( ∠ CBD = 70^° - 50^° = 20^° \).
5. Дуга CD равна \( 2 · ∠ CBD = 2 · 20^° = 40^° \).
6. \( ∠ DAB \) (угол между касательной AB и хордой DB) равен половине дуги DB. \( ∠ DCB \) (вписанный угол) равен половине дуги DB.
7. \( ∠ DCB = ∠ DAB \).
8. \( ∠ CBA \) — угол между касательной AB и хордой CB. \( ∠ CBA = 50^° \). Этот угол равен половине дуги CB. Значит, дуга CB = \( 2 · 50^° = 100^° \).
9. \( ∠ DBA \) — угол между касательной AB и хордой DB. \( ∠ DBA = 70^° \). Этот угол равен половине дуги DB. Значит, дуга DB = \( 2 · 70^° = 140^° \).
10. \( ∠ DAB = ∠ DBA - ∠ CBA = 70^° - 50^° = 20^° \).
11. Проверим: Дуга CB = \( 100^° \). Дуга DB = \( 140^° \). Дуга CD = Дуга DB - Дуга CB = \( 140^° - 100^° = 40^° \).
12. Вписанный угол \( ∠ CDB \) опирается на дугу CB, значит \( ∠ CDB = 100^° / 2 = 50^° \).
13. Вписанный угол \( ∠ DCB \) опирается на дугу DB, значит \( ∠ DCB = 140^° / 2 = 70^° \).
14. В \( ∆ ADB \), \( ∠ DAB + ∠ ABD + ∠ ADB = 180^° \). \( ∠ ADB = ∠ ADC \).
15. В \( ∆ ACD \), \( ∠ CAD + ∠ ACD + ∠ CDA = 180^° \). \( ∠ CAD = ∠ DAB \). \( ∠ CDA = ∠ CDB = 50^° \). \( ∠ ACD = ∠ ACB \).
16. Так как \( ∠ DAB \) — угол между касательной AB и хордой DB, он равен половине дуги DB. Дуга DB = \( ∠ DBA = 70^° \). Ошибка в трактовке \( ∠ DB = 70^° \). \( ∠ DBA \) — это угол между касательной и хордой, он равен половине дуги, которую опирает.
17. Пусть \( ∠ DAB = x \). Тогда дуга DB = \( 2x \).
18. \( ∠ CBA = 50^° \) — угол между касательной и хордой CB. Дуга CB = \( 2 · 50^° = 100^° \).
19. \( ∠ DBA = 70^° \) — угол между касательной и хордой DB. Дуга DB = \( 2 · 70^° = 140^° \).
20. \( ∠ DAB = ∠ DBA - ∠ CBA = 70^° - 50^° = 20^° \).
21. Дуга CB = \( 100^° \). Дуга DB = \( 140^° \). Дуга CD = Дуга DB - Дуга CB = \( 140^° - 100^° = 40^° \).
22. Проверим: \( ∠ CDB \) — вписанный, опирается на дугу CB. \( ∠ CDB = 100^° / 2 = 50^° \).
23. \( ∠ DCB \) — вписанный, опирается на дугу DB. \( ∠ DCB = 140^° / 2 = 70^° \).
24. \( ∠ CAD = ∠ DAB = 20^° \).
25. В \( ∆ ACD \): \( ∠ CAD = 20^° \), \( ∠ CDA = 50^° \). \( ∠ ACD = 180^° - 20^° - 50^° = 110^° \).
26. \( ∠ ACB = ∠ ACD = 110^° \).
27. \( ∠ DCB = 70^° \). \( ∠ ACB + ∠ DCB = 110^° + 70^° = 180^° \), что означает, что A, C, D лежат на одной прямой, что верно.
28. \( ∠ DAB = 20^° \).

Ответ: \( ∠ DAB = 20^° \).

Задание 4. Хорда через секущую

Дано:

• CK = 2 см, KD = 9 см.
• AK : KB = 1 : 2.

Найти: длину хорды AB.

Решение:

1. Используем теорему о пересекающихся хордах. Если две хорды AB и CD пересекаются в точке K, то \( AK · KB = CK · KD \).
2. Нам дано \( CK = 2 \) см и \( KD = 9 \) см, поэтому \( CK · KD = 2 · 9 = 18 \) см².
3. Пусть \( AK = x \). Тогда \( KB = 2x \) (так как AK : KB = 1 : 2).
4. По теореме о пересекающихся хордах: \( AK · KB = CK · KD \).
5. \( x · 2x = 18 \).
6. \( 2x^2 = 18 \).
7. \( x^2 = 9 \).
8. \( x = 3 \) (так как длина не может быть отрицательной).
9. Значит, \( AK = 3 \) см.
10. \( KB = 2x = 2 · 3 = 6 \) см.
11. Длина хорды AB равна сумме отрезков AK и KB: \( AB = AK + KB = 3 + 6 = 9 \) см.

Ответ: AB = 9 см.

Задание 5. Общая касательная к двум окружностям

Дано:

• Две касающиеся окружности с радиусами \( r_1 = 9 \) см и \( r_2 = 16 \) см.
• AB — общая касательная.
• A и B — точки касания.

Найти: длину отрезка AB.

Решение:

1. Проведем радиусы \( O_1A \) и \( O_2B \). \( O_1A ⊥ AB \) и \( O_2B ⊥ AB \).
2. \( O_1A = r_1 = 9 \) см, \( O_2B = r_2 = 16 \) см.
3. Через центр меньшей окружности \( O_1 \) проведем прямую, параллельную AB, до пересечения с радиусом \( O_2B \) в точке C.
4. Образуется прямоугольная трапеция \( O_1ABO_2 \). \( O_1C = AB \) и \( AC = O_1A = 9 \) см.
5. \( O_2C = O_2B - CB = O_2B - O_1A = 16 - 9 = 7 \) см.
6. Рассмотрим прямоугольный \( ∆ O_1CO_2 \). По теореме Пифагора: \[ O_1O_2^2 = O_1C^2 + O_2C^2 \].
7. Расстояние между центрами \( O_1O_2 = r_1 + r_2 = 9 + 16 = 25 \) см.
8. \( 25^2 = O_1C^2 + 7^2 \).
9. \( 625 = O_1C^2 + 49 \).
10. \( O_1C^2 = 625 - 49 = 576 \).
11. \( O_1C = √{576} = 24 \) см.
12. Так как \( O_1C = AB \), то \( AB = 24 \) см.

Ответ: AB = 24 см.