1. UAC = 150°, UCB = 140°, O – центр окружности (рис. 1). Тогда: a) UAB = 70°; ∠α = 70°; ∠B = 35°; б) UAB = 35°; ∠α = 35°; ∠B = 70°; в) UAB = 70°; ∠α = 35°; ∠B = 70°; г) UAB = 10°; ∠α = 20°; ∠B = 10°. 2. Лучи AB и AC касаются окружности с центром O в точках B и C, ∠BAC = 70° (рис. 2). Найдите угол OBC. 3. Из точки A, взятой вне окружности, проведены касательная AB (B – точка касания) и секущая AD (C и D – точки пересечения с окружностью, C є AD). Найдите угол DAB, если UCB = 40°, UDB = 100°. 4. На рисунке 3 AK = 9 см, KC = 4 см, BK: KD = 1 : 4. Найдите длину хорды BD. 5. AB – общая касательная к двум касающимся окружностям радиусами 9 см и 4 см, А и В – точки касания (рис. 4). Найдите длину отрезка AB.

Задание 1. Центральные углы

В окружности центральный угол равен соответствующему углу, на который опирается дуга. Дуга AC равна 150°, дуга CB равна 140°. Сумма дуг, стягиваемых углами ∠AOB, ∠BOC, ∠COA, равна 360°. Следовательно, дуга AB = 360° - 150° - 140° = 70°.

Центральный угол AOB равен 70°.

Вписанный угол, опирающийся на дугу AB, равен половине центрального угла, т.е. 70° / 2 = 35°.

Угол α является центральным углом, опирающимся на дугу BC, поэтому α = 140°. Но на рисунке α обозначен как угол AOC, опирающийся на дугу AC, то есть α = 150°.

Угол β является вписанным углом, опирающимся на дугу AB, поэтому β = 70°/2 = 35°.

Угол ∠UAB не определен. Вероятно, имеется в виду вписанный угол ∠ACB, который опирается на дугу AB. Тогда ∠ACB = 70°/2 = 35°.

Из вариантов ответа: ∠UAB = 70° — это центральный угол AOB. ∠α = 35° (если α — это ∠ACB) и ∠B = 70° (если B — это ∠AOB, но он центральный).

Второй вариант: если ∠UAB — это вписанный угол ∠ACB, то он равен 35°. А центральный угол ∠AOB = 70°.

Если рассмотреть треугольник AOB, где OA=OB (радиусы), то он равнобедренный. Угол AOB = 70°. Тогда углы OAB и OBA = (180 - 70) / 2 = 55°.

Рассмотрим вариант в): ∠UAB = 70° (центральный угол AOB), ∠α = 35° (вписанный угол ACB), ∠B = 70° (вероятно, имеется в виду угол, который не обозначен, но в контексте других углов, это может быть и центральный угол AOB, но он 70°).

Если предположить, что ∠UAB — это центральный угол AOB, то ∠AOB = 70°. Тогда дуга AB = 70°. Дуга AC = 150°, дуга BC = 140°. 70 + 150 + 140 = 360°. Всё верно.

Теперь смотрим на обозначения α и β на рисунке 1. α — это центральный угол, опирающийся на дугу AC. Значит, α = 150°. β — это вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Значит, β = 70°/2 = 35°.

Смотрим варианты:

a) UAB = 70° (центральный AOB); ∠α = 70° (неверно, α=150°); ∠B = 35° (вероятно, вписанный угол). Не подходит.

б) UAB = 35° (неверно); ... Не подходит.

в) UAB = 70° (центральный AOB); ∠α = 35° (неверно, α=150°); ∠B = 70° (вероятно, вписанный угол). Не подходит.

г) UAB = 10° (неверно); ... Не подходит.

Перечитываем условие. UAC = 150°, UCB = 140°. Значит, дуга AC = 150°, дуга CB = 140°. Дуга AB = 360° - 150° - 140° = 70°.

На рисунке 1: ∠AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB. Значит, ∠AOB = 70°.

α — это центральный угол, опирающийся на дугу AC. Значит, α = 150°.

β — это вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Значит, β = 70°/2 = 35°.

Теперь смотрим на варианты:

a) UAB = 70° (верно, это ∠AOB); ∠α = 70° (неверно, α = 150°); ∠B = 35° (это β, верно).

б) UAB = 35° (неверно); ...

в) UAB = 70° (верно); ∠α = 35° (неверно); ∠B = 70° (верно, если B — это ∠AOB).

В варианте а) и в) есть частичное совпадение. Предположим, что UAB — это величина дуги AB (70°), а ∠B — это величина вписанного угла, опирающегося на дугу AB (35°). Тогда ищем вариант, где это совпадает.

В варианте а) UAB = 70°, ∠B = 35°. Но ∠α = 70° — неверно.

В варианте в) UAB = 70°, ∠B = 70° — это может быть ∠AOB.

Учитывая, что α и β обозначены на рисунке, они должны соответствовать их значениям.

α = 150°, β = 35°.

Смотрим варианты еще раз:

a) UAB = 70° (т.е. ∠AOB = 70°); ∠α = 70° (неверно); ∠B = 35° (т.е. β = 35°, верно).

в) UAB = 70° (т.е. ∠AOB = 70°); ∠α = 35° (неверно); ∠B = 70° (т.е. ∠AOB = 70°, верно).

Если предположить, что ∠B означает ∠AOB, то вариант в) подходит по ∠UAB и ∠B. Но ∠α не соответствует.

Если предположить, что ∠B означает β, то вариант а) подходит по ∠UAB и ∠B. Но ∠α не соответствует.

Пересмотрим рисунок 1. Дуги 150° и 140° указаны. Они опираются на углы ∠AOC и ∠BOC соответственно. Следовательно, ∠AOC = 150°, ∠BOC = 140°. Тогда ∠AOB = 360° - 150° - 140° = 70°. Центральный угол ∠AOB = 70°.

На рисунке α обозначен как ∠AOC. Значит, α = 150°.

На рисунке β обозначен как вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Значит, β = ∠AOB / 2 = 70° / 2 = 35°.

Теперь смотрим на варианты:

a) UAB = 70° (т.е. ∠AOB = 70°); ∠α = 70° (неверно, α = 150°); ∠B = 35° (т.е. β = 35°, верно).

б) ...

в) UAB = 70° (т.е. ∠AOB = 70°); ∠α = 35° (неверно, α = 150°); ∠B = 70° (т.е. ∠AOB = 70°, верно).

г) ...

В вариантах а) и в) есть частичное совпадение. Вариант а) подходит по UAB и ∠B (если ∠B = β). Вариант в) подходит по UAB и ∠B (если ∠B = ∠AOB).

С учетом рисунка, где α и β обозначены, они должны соответствовать своим значениям.

Смотрим вариант а): ∠AOB=70°, α=150°, β=35°. Вариант: UAB=70°, ∠α=70° (неверно), ∠B=35° (верно).

Смотрим вариант в): ∠AOB=70°, α=150°, β=35°. Вариант: UAB=70°, ∠α=35° (неверно), ∠B=70° (верно, если ∠B = ∠AOB).

Из-за некорректности обозначений в вариантах, сложно дать однозначный ответ. Но если считать, что UAB = 70° — это ∠AOB, и ∠B = 35° — это вписанный угол β, то вариант а) наиболее близок.

Ответ: а) UAB = 70°; ∠α = 70°; ∠B = 35°.

Примечание: Задание содержит некорректные обозначения. Мы исходили из того, что UAB — центральный угол AOB, ∠α — центральный угол AOC, а ∠B — вписанный угол, опирающийся на дугу AB.

Задание 2. Угол OBC

Дано:

• Окружность с центром O.
• AB и AC — касательные к окружности.
• Точки касания B и C.
• ∠BAC = 70°.

Найти: ∠OBC.

Решение:

1. Рассмотрим четырехугольник ABOC. Так как AB и AC — касательные, то радиусы OB и OC перпендикулярны касательным в точках касания. Следовательно, ∠ABO = 90° и ∠ACO = 90°.
2. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Поэтому: ∠BOC = 360° - ∠BAC - ∠ABO - ∠ACO = 360° - 70° - 90° - 90° = 110°.
3. Рассмотрим треугольник OBC. OB и OC — радиусы окружности, поэтому треугольник OBC — равнобедренный (OB = OC).
4. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Следовательно, ∠OBC = ∠OCB.
5. Сумма углов в треугольнике OBC равна 180°. Поэтому: ∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180°.
6. Подставим значения: 2 * ∠OBC + 110° = 180°.
7. Решим уравнение: 2 * ∠OBC = 180° - 110° = 70°.
8. ∠OBC = 70° / 2 = 35°.

Ответ: ∠OBC = 35°.

Задание 3. Угол DAB

Дано:

• Точка A вне окружности.
• AB — касательная.
• AD — секущая, пересекающая окружность в точках C и D.
• C лежит между A и D.
• ∠CB = 40°.
• ∠DB = 100°.

Найти: ∠DAB.

Решение:

1. Угол ∠CBD является вписанным и опирается на дугу CD.
2. Угол ∠CAD — центральный угол, опирающийся на дугу CD.
3. Угол ∠CBD = 40°.
4. Угол ∠CDB = 100° — это вписанный угол, опирающийся на дугу CB. Значит, дуга CB = 2 * 40° = 80°.
5. Угол ∠DBC = 40° — это вписанный угол, опирающийся на дугу DC. Значит, дуга DC = 2 * 40° = 80°.
6. Угол ∠DBC = 100° — это вписанный угол, опирающийся на дугу DC. Значит, дуга DC = 2 * 100° = 200°.
7. Угол ∠CBD = 40°.
8. Угол ∠CDB = 100°.
9. В треугольнике BCD сумма углов равна 180°. ∠BCD = 180° - 40° - 100° = 40°.
10. Так как ∠CBD = ∠BCD = 40°, то треугольник BCD равнобедренный с основанием BD.
11. Угол ∠BCD = 40° — вписанный угол, опирающийся на дугу BD. Значит, дуга BD = 2 * 40° = 80°.
12. Угол ∠CB = 40° — это вписанный угол, опирающийся на дугу C. Это неверно.
13. ∠CB = 40° — это величина дуги CB.
14. ∠DB = 100° — это величина дуги DB.
15. Значит, дуга CD = 360° - 40° - 100° = 220°.
16. Угол DAB — это угол между касательной AB и секущей AD.
17. Теорема: Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине дуги, заключенной между ними.
18. Теорема: Угол, образованный пересекающимися хордами, равен полусумме дуг, на которые они опираются.
19. Угол между касательной AB и хордой BC равен половине дуги BC. ∠ABC = 40°/2 = 20°.
20. Угол между касательной AB и хордой BD равен половине дуги BD. ∠ABD = 100°/2 = 50°.
21. Угол DAB = ∠ABD - ∠ABC = 50° - 20° = 30°.
22. Другой вариант: угол между касательной AB и секущей AD.
23. Угол DAB.
24. Угол ∠CBD = 40° — вписанный угол, опирающийся на дугу CD. Значит, дуга CD = 2 * 40° = 80°.
25. Угол ∠BDC — вписанный угол, опирающийся на дугу BC.
26. Угол ∠DBC = 40°.
27. Угол ∠ADB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB.
28. Угол ∠ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB.
29. Угол ∠ABC = 40°? Нет.
30. Дано: UCB = 40° (дуга CB), UDB = 100° (дуга DB).
31. Угол DAB.
32. Угол между касательной AB и секущей AD.
33. Для угла, образованного касательной и секущей, выходящими из одной точки, формула: половина разности больших и меньших дуг, заключенных между сторонами угла.
34. ∠DAB = 1/2 * (дуга DB - дуга CB)
35. ∠DAB = 1/2 * (100° - 40°) = 1/2 * 60° = 30°.

Ответ: ∠DAB = 30°.

Задание 4. Длина хорды BD

Дано:

• Хорда BD.
• AK = 9 см.
• KC = 4 см.
• BK : KD = 1 : 4.

Найти: длину хорды BD.

Решение:

1. Пересекающиеся хорды AC и BD. По теореме о пересекающихся хордах (произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды): AK * KC = BK * KD.
2. Подставим известные значения: 9 см * 4 см = BK * KD.
3. 36 см² = BK * KD.
4. Из условия BK : KD = 1 : 4, следует, что KD = 4 * BK.
5. Подставим это в уравнение: 36 = BK * (4 * BK).
6. 36 = 4 * BK².
7. BK² = 36 / 4 = 9.
8. BK = √9 = 3 см.
9. Теперь найдем KD: KD = 4 * BK = 4 * 3 см = 12 см.
10. Длина хорды BD = BK + KD.
11. BD = 3 см + 12 см = 15 см.

Ответ: Длина хорды BD равна 15 см.

Задание 5. Длина отрезка AB

Дано:

• AB — общая касательная к двум касающимся окружностям.
• Радиус первой окружности (с центром O₁) = 9 см.
• Радиус второй окружности (с центром O₂) = 4 см.
• A и B — точки касания.

Найти: длину отрезка AB.

Решение:

1. Проведем радиусы O₁A и O₂B к точкам касания. Так как касательная перпендикулярна радиусу, ∠O₁AB = 90° и ∠O₂BA = 90°.
2. Соединим центры окружностей O₁ и O₂. Так как окружности касаются, то точка касания лежит на линии центров. Расстояние между центрами O₁O₂ = R₁ + R₂ = 9 см + 4 см = 13 см.
3. Через центр меньшей окружности O₂ проведем прямую, параллельную касательной AB. Она пересечет радиус O₁A в точке C.
4. Получится прямоугольник ACO₂B. Тогда AC = O₂B = 4 см, и AB = CO₂.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник O₁CO₂. Гипотенуза O₁O₂ = 13 см. Катет O₂C = AB. Катет O₁C = O₁A - AC = 9 см - 4 см = 5 см.
6. По теореме Пифагора: O₁O₂² = O₁C² + O₂C².
7. 13² = 5² + O₂C².
8. 169 = 25 + O₂C².
9. O₂C² = 169 - 25 = 144.
10. O₂C = √144 = 12 см.
11. Так как AB = O₂C, то AB = 12 см.

Ответ: Длина отрезка AB равна 12 см.