1. Uchburchakning asosiga tushirilgan medianasi uni perimetrlari 18 va 24 ga teng bo'lgan ikki uchburchakka ajratdi. Berilgan uchburchakning kichik yon tomoni 6 ga teng. Uning katta yon tomonini toping.

Решение:

Пусть медиана делит основание на отрезки x и y. Периметры двух треугольников равны 18 и 24. Стороны одного треугольника: 6, x, медиана (m). Периметр 1: \( 6 + x + m = 18 \). Стороны другого треугольника: 6, y, медиана (m). Периметр 2: \( 6 + y + m = 24 \). Основание равно \( x + y \). Из первого уравнения: \( x + m = 12 \). Из второго уравнения: \( y + m = 18 \). Вычитая первое из второго: \( y - x = 6 \). Если бы медиана была опущена на основание, то она бы разделила его пополам, и боковые стороны были бы равны. Но здесь медиана проведена к основанию. Пусть стороны треугольника a, b, c. Медиана m_a. Если медиана проведена к основанию, то она делит его на два отрезка. Пусть стороны треугольника 6, b, c. Основание a. Медиана m_a. Пусть медиана разделила основание на x и y. \( 6^2 + b^2 = 2m_a^2 + \frac{a^2}{2} \) — это формула длины медианы. Здесь медиана к основанию. Если медиана делит треугольник на два с периметрами 18 и 24, то стороны треугольников (a, m, x) и (b, m, y). У нас одна сторона 6. Пусть это будет одна из боковых сторон. Периметр 1: \( 6 + x + m = 18 \). Периметр 2: \( b + y + m = 24 \). Основание = \( x + y \). Стороны исходного треугольника: 6, b, \( x+y \). Основание треугольника = \( x + y \). По теореме о медиане: \( 2(6^2 + b^2) = (x+y)^2 + 2m^2 \). Это слишком сложно. Попробуем другой подход. Пусть стороны треугольника: a, b, c. Периметр = \( a+b+c \). Медиана к стороне a делит её на \( a/2 \) и \( a/2 \). Если медиана делит треугольник на два, то одна из сторон треугольника является медианой. Это невозможно. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Если медиана делит треугольник на два, то эта медиана является одной из сторон. Это не так. Медиана является общей стороной двух новых треугольников. Пусть стороны исходного треугольника — \( c \), \( b \) и \( a \) (основание). Медиана \( m_a \). Она делит треугольник на два. \( T_1 \) и \( T_2 \). Периметр \( T_1 = c + m_a + x \) = 18. Периметр \( T_2 = b + m_a + y \) = 24. Где \( x + y = a \). У нас есть одна боковая сторона = 6. Пусть \( c = 6 \). Тогда \( 6 + m_a + x = 18 \) => \( m_a + x = 12 \). \( b + m_a + y = 24 \). \( y = a - x \). \( b + m_a + a - x = 24 \). \( b + (12-x) + a - x = 24 \). \( b + 12 + a - 2x = 24 \). \( b + a - 2x = 12 \). Также, если \( c=6 \) — меньшая боковая сторона. А \( b \) — большая. В условии сказано: «малая боковая сторона 6». Значит \( c = 6 \). Ищем \( b \). \( m_a + x = 12 \) => \( m_a = 12 - x \). \( b + m_a + y = 24 \) => \( b + (12 - x) + y = 24 \) => \( b - x + y = 12 \). \( b + y - x = 12 \). \( a = x + y \). \( b + (a-x) - x = 12 \) => \( b + a - 2x = 12 \). \( 2x = b + a - 12 \). \( x = \frac{b+a-12}{2} \). \( m_a = 12 - x = 12 - \frac{b+a-12}{2} = \frac{24 - (b+a-12)}{2} = \frac{36 - b - a}{2} \). По теореме о медиане: \( 2(c^2 + b^2) = a^2 + 2m_a^2 \). \( 2(6^2 + b^2) = a^2 + 2(\frac{36 - b - a}{2})^2 \). \( 2(36 + b^2) = a^2 + 2 \frac{(36 - b - a)^2}{4} \). \( 72 + 2b^2 = a^2 + \frac{(36 - b - a)^2}{2} \). \( 144 + 4b^2 = 2a^2 + (36 - b - a)^2 \). \( 144 + 4b^2 = 2a^2 + 1296 + b^2 + a^2 - 72b - 72a + 2ab \). \( 3b^2 - 2a^2 - 2ab + 72a + 72b - 1152 = 0 \). Это слишком сложно. 12 и 18 — это суммы сторон без общей стороны медианы. \( c+x=12 \) и \( b+y=18 \). \( c=6 \). \( 6+x=12 \) => \( x=6 \). \( b+y=18 \). \( a = x+y = 6+y \). \( b+y=18 \) => \( y=18-b \). \( a = 6 + (18-b) = 24 - b \). Стороны треугольника: 6, b, \( 24-b \). \( x=6 \), \( y=18-b \). \( m_a \) — общая сторона. \( m_a = 12 - x = 12 - 6 = 6 \). Значит медиана равна 6. \( m_a = 6 \). \( b + y = 18 \) => \( b + (18-b) = 18 \). Это верно. \( c = 6 \), \( b = ? \), \( a = 24-b \). \( m_a = 6 \). По теореме о медиане: \( 2(c^2 + b^2) = a^2 + 2m_a^2 \). \( 2(6^2 + b^2) = (24-b)^2 + 2(6^2) \). \( 2(36 + b^2) = (24-b)^2 + 72 \). \( 72 + 2b^2 = 576 - 48b + b^2 + 72 \). \( 2b^2 = 576 - 48b + b^2 \). \( b^2 + 48b - 576 = 0 \). \( D = 48^2 - 4(1)(-576) = 2304 + 2304 = 4608 \). \( \sqrt{4608} = \sqrt{2304 \times 2} = 48\sqrt{2} \). \( b = \frac{-48 + 48\sqrt{2}}{2} = -24 + 24\sqrt{2} \) — не подходит, сторона должна быть положительной. \( b = -24 - 24\sqrt{2} \) — тоже не подходит. Где ошибка?