1. Углы треугольника ABC относятся так: ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3. Биссектриса BM угла ABC равна 6. Найдите длину отрезка MC. Запишите решение и ответ.

Сумма углов треугольника равна 180°. На одну долю приходится \(180° : (1+2+3)=30°\), поэтому \(\angle A=30°\), \(\angle B=60°\), \(\angle C=90°\).

В прямоугольном треугольнике ABC сторона BC, лежащая напротив угла 30°, вдвое меньше гипотенузы AB. Значит, \(AB:BC=2:1\).

По теореме о биссектрисе \(AM:MC=AB:BC=2:1\). Следовательно, \(AC=3MC\).

Так как \(\angle C=90°\), \(AC\perp BC\). Треугольник BMC прямоугольный, а \(\angle MBC=\frac{1}{2}\angle B=30°\). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы, поэтому \(MC=\frac{1}{2}BM=3\).

Ответ: 3.