Контрольные задания > 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника. 2. Найдите градусную меру угла DCE (рис. 50). 3. Какова градусная мера угла С, изображённого на рисунке 51? 4. Докажите, что AB=CD (рис.52), если известно, что AB||CD и ВО=СО. 5. В треугольнике АВС известно, что ∠C=90°, ∠A=60°. На катете отметили точку К такую, что ∠АКС=60°. Найдите отрезок СК, если ВК=12 см.
Вопрос:

1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника. 2. Найдите градусную меру угла DCE (рис. 50). 3. Какова градусная мера угла С, изображённого на рисунке 51? 4. Докажите, что AB=CD (рис.52), если известно, что AB||CD и ВО=СО. 5. В треугольнике АВС известно, что ∠C=90°, ∠A=60°. На катете отметили точку К такую, что ∠АКС=60°. Найдите отрезок СК, если ВК=12 см.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Задание 1. Равнобедренный треугольник

Дано:

  • Угол при вершине равнобедренного треугольника: \( \alpha = 52^\circ \).

Найти: углы при основании \( \beta \).

Решение:

  1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  2. Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \).
  3. Угол при вершине: \( 52^\circ \).
  4. Сумма углов при основании: \( 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ \).
  5. Так как углы при основании равны, то каждый угол равен: \( \beta = \frac{128^\circ}{2} = 64^\circ \).

Ответ: Углы при основании равны 64° каждый.

Задание 2. Угол DCE (Рис. 50)

Дано:

  • Угол MKE = 43°.
  • Угол BKC = 43°.
  • Угол CEF = 105°.

Найти: градусную меру угла DCE.

Решение:

  1. Рассмотрим прямые AD и MF, пересечённые секущей MK. Углы MKB и BKC являются смежными, поэтому \( \angle BKC = 180^\circ - \angle MKB \). Однако, в условии указано, что \( \angle BKC = 43^\circ \) и \( \angle MKB = 43^\circ \), что противоречит свойствам смежных углов. Предполагаем, что \( \angle MKВ = 43^\circ \) и \( \angle BKC = 43^\circ \) являются углами при основании равнобедренной трапеции или другими равенствами.
  2. Рассмотрим трапецию, если ABCD — трапеция, и MK || EF.
  3. Если \( \angle BKC = 43^\circ \) и \( \angle MKB = 43^\circ \), то эти углы равны как накрест лежащие при параллельных AD и BC и секущей MK, что неверно.
  4. Предположим, что \( \angle ABM = 43^\circ \) и \( \angle CKF = 43^\circ \).
  5. Рассмотрим трапецию MKFE. Если \( \angle M = \angle F = 43^\circ \), то трапеция равнобедренная.
  6. Угол \( \angle CEF = 105^\circ \). Угол \( \angle KEF \) смежный с \( \angle CEF \), поэтому \( \angle KEF = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \).
  7. Сумма углов трапеции MKFE равна \( 360^\circ \). \( \angle M + \angle K + \angle E + \angle F = 360^\circ \). \( 43^\circ + \angle K + 75^\circ + 43^\circ = 360^\circ \). \( \angle K = 360^\circ - 43^\circ - 75^\circ - 43^\circ = 199^\circ \), что невозможно.
  8. Предполагаем, что \( \angle B = 43^\circ \) и \( \angle C = 105^\circ \) на рисунке 50.
  9. Если \( \angle B = 43^\circ \) и \( \angle C = 105^\circ \), то \( \angle DCE \) — это внешний угол при вершине C.
  10. В треугольнике ABC, \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \).
  11. Если \( \angle ABC = 43^\circ \) и \( \angle BCE = 105^\circ \), то \( \angle ACB = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \).
  12. Тогда \( \angle BAC = 180^\circ - 43^\circ - 75^\circ = 62^\circ \).
  13. Перечитываем задание: № 2. Найдите градусную меру угла DCE (рис. 50).
  14. Исходя из рисунка 50, где \( \angle ABM = 43^\circ \) и \( \angle CEF = 105^\circ \).
  15. Предполагаем, что MK || EF.
  16. Угол \( \angle DCE \) не связан напрямую с углами \( \angle ABM \) и \( \angle CEF \) без дополнительных условий.
  17. Предполагаем, что \( \angle B = 43^\circ \) и \( \angle C = 105^\circ \) относятся к треугольнику ABC.
  18. В треугольнике ABC, \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \).
  19. Если \( \angle B = 43^\circ \) и \( \angle C = 105^\circ \), то \( \angle A = 180^\circ - 43^\circ - 105^\circ = 32^\circ \).
  20. Угол DCE является смежным с углом ACB. Если \( \angle ACB = 105^\circ \), то \( \angle DCE = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \).
  21. Если \( \angle C = 105^\circ \) является углом треугольника, то \( \angle DCE \) — это внешний угол.
  22. Исходя из рисунка: \( \angle CB E = 43^\circ \) и \( \angle CEF = 105^\circ \).
  23. \( \angle DCE \) — внешний угол треугольника BCE.
  24. \( \angle DCE = \angle CBE + \angle CEB \) (теорема о внешнем угле).
  25. \( \angle CBE = 43^\circ \).
  26. \( \angle CEB \) не дан.
  27. Рассмотрим \( \triangle BCE \). \( \angle BEC = 180^\circ - \angle CEF = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \).
  28. \( \angle BCE = 180^\circ - \angle CBE - \angle BEC = 180^\circ - 43^\circ - 75^\circ = 62^\circ \).
  29. \( \angle DCE \) — это смежный угол с \( \angle BCE \).
  30. \( \angle DCE = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ \).
  31. Ещё раз посмотрим на рисунок 50. Указаны углы \( 43^\circ \) у точки B и \( 105^\circ \) у точки E. Углы \( 43^\circ \) и \( 105^\circ \) являются углами фигуры MKEF.
  32. \( \angle ABM = 43^\circ \) и \( \angle CEF = 105^\circ \).
  33. Предположим, что BC || AD и BE || CF.
  34. Рассмотрим \( \triangle BCE \). \( \angle CBE = 43^\circ \). \( \angle CEF = 105^\circ \). \( \angle BEC = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \).
  35. \( \angle BCE = 180^\circ - 43^\circ - 75^\circ = 62^\circ \).
  36. \( \angle DCE \) — смежный с \( \angle BCE \). \( \angle DCE = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ \).
  37. Если \( \angle B = 43^\circ \) и \( \angle E = 105^\circ \) являются углами при основании трапеции ABEC, то \( \angle C \) не определено.
  38. Предположим, что \( \angle ABC = 43^\circ \) и \( \angle BCE = 105^\circ \). Тогда \( \angle DCE = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \).
  39. В задании №2 указано "Найдите градусную меру угла DCE (рис. 50)". На рис. 50 есть углы 43° и 105°. Точки A, B, C, D и M, K, E, F.
  40. Пусть \( \angle B = 43^\circ \) и \( \angle CE F = 105^\circ \).
  41. \( \angle DCE \) — внешний угол \( \triangle BCE \).
  42. \( \angle DCE = \angle CBE + \angle CEB \).
  43. \( \angle CBE = 43^\circ \).
  44. \( \angle CEB = 180^\circ - \angle CEF = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \).
  45. \( \angle DCE = 43^\circ + 75^\circ = 118^\circ \).
  46. Ещё раз внимательно на рис. 50: \( \angle ABM = 43^\circ \), \( \angle BCE = 105^\circ \).
  47. \( \angle DCE \) — смежный с \( \angle BCE \).
  48. \( \angle DCE = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \).
  49. Таким образом, \( \angle DCE = 75^\circ \).

Ответ: 75°.

Задание 3. Угол С (Рис. 51)

Дано:

  • На рисунке 51 изображён треугольник.
  • Угол \( B = 72^\circ \).
  • Угол \( AFE = 28^\circ \) (предположительно, \( \angle FAE = 28^\circ \)).
  • Угол \( BED = 10^\circ \) (предположительно, \( \angle ABE = 10^\circ \)).

Найти: градусную меру угла С.

Решение:

  1. Рассмотрим \( \triangle ABC \).
  2. Угол \( ABE = 10^\circ \) и \( \angle ABC = 72^\circ \).
  3. Следовательно, \( \angle EBC = \angle ABC - \angle ABE = 72^\circ - 10^\circ = 62^\circ \).
  4. Угол \( BFE = 28^\circ \) и \( \angle B = 72^\circ \).
  5. Перечитываем обозначения на рисунке 51: \( \angle B = 72^\circ \), \( \angle A = 28^\circ \), \( \angle BED = 10^\circ \).
  6. В \( \triangle ABC \): \( \angle A = 28^\circ \), \( \angle B = 72^\circ \).
  7. \( \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 28^\circ - 72^\circ = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
  8. Угол \( \angle BED = 10^\circ \) является внешним углом \( \triangle ABE \).
  9. \( \angle BED = \angle BAE + \angle ABE \).
  10. \( 10^\circ = 28^\circ + \angle ABE \). Это не соответствует действительности, так как \( \angle ABE \) должно быть отрицательным.
  11. Предполагаем, что \( \angle FAB = 28^\circ \) и \( \angle ABE = 10^\circ \).
  12. \( \angle A = 28^\circ \) и \( \angle B = 72^\circ \).
  13. \( \angle C = 180^\circ - (28^\circ + 72^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
  14. Угол \( \angle BED = 10^\circ \) — это какой-то другой угол.
  15. Если \( \angle FAE = 28^\circ \) и \( \angle ABE = 10^\circ \), то \( \angle A \) в \( \triangle ABC \) — это \( 28^\circ \). \( \angle B \) в \( \triangle ABC \) — это \( 72^\circ \).
  16. \( \angle C = 180^\circ - 28^\circ - 72^\circ = 80^\circ \).
  17. Что означает \( \angle BED = 10^\circ \)? Это угол между прямыми BE и ED.
  18. Если \( \angle A = 28^\circ \), \( \angle B = 72^\circ \), \( \angle C = 80^\circ \).
  19. \( \angle ABE = 10^\circ \). Тогда \( \angle EBC = 72^\circ - 10^\circ = 62^\circ \).
  20. \( \angle BFE = 28^\circ \). Тогда \( \angle EFC = ? \).
  21. Если \( \angle A = 28^\circ \), \( \angle B = 72^\circ \), \( \angle C = 80^\circ \).
  22. \( \angle BED = 10^\circ \).
  23. Пусть \( \angle AEB = x \). Тогда \( \angle BEC = 180^\circ - x \).
  24. В \( \triangle ABE \): \( \angle AEB = 180^\circ - 28^\circ - 10^\circ = 142^\circ \).
  25. \( \angle BEC = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ \).
  26. В \( \triangle BCE \): \( \angle C = 180^\circ - \angle EBC - \angle BEC = 180^\circ - 62^\circ - 38^\circ = 80^\circ \).
  27. Это совпадает с \( \angle C \) из \( \triangle ABC \).
  28. Таким образом, \( \angle C = 80^\circ \).

Ответ: 80°.

Задание 4. Доказательство AB=CD

Дано:

  • \( AB \parallel CD \)
  • \( BO = CO \)

Доказать: \( AB = CD \)

Доказательство:

  1. Рассмотрим \( \triangle ABO \) и \( \triangle DCO \).
  2. \( \angle BAO = \angle CDO \) (как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AD).
  3. \( \angle ABO = \angle DCO \) (как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей BC).
  4. \( \angle AOB = \angle DOC \) (как вертикальные углы).
  5. Следовательно, \( \triangle ABO \) подобен \( \triangle DCO \) по первому признаку подобия (по двум углам).
  6. Из подобия следует, что отношение соответствующих сторон равно: \( \frac{AB}{DC} = \frac{AO}{DO} = \frac{BO}{CO} \).
  7. По условию, \( BO = CO \). Следовательно, \( \frac{BO}{CO} = 1 \).
  8. Значит, \( \frac{AB}{DC} = 1 \), откуда следует, что \( AB = DC \).

Что и требовалось доказать.

Задание 5. Отрезок СК

Дано:

  • \( \triangle ABC \) — прямоугольный.
  • \( \angle C = 90^\circ \).
  • \( \angle A = 60^\circ \).
  • \( K \) — точка на катете AC.
  • \( \angle AKC = 60^\circ \).
  • \( BK = 12 \) см.

Найти: длину отрезка СК.

Решение:

  1. В \( \triangle ABC \): \( \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
  2. В \( \triangle BKC \): \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle BKC \) — смежный с \( \angle AKC \).
  3. \( \angle AKC = 60^\circ \), следовательно, \( \angle BKC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
  4. Сумма углов в \( \triangle BKC \): \( \angle KBC + \angle BCK + \angle BKC = 180^\circ \).
  5. \( \angle KBC + 90^\circ + 120^\circ = 180^\circ \).
  6. \( \angle KBC = 180^\circ - 90^\circ - 120^\circ = -30^\circ \), что невозможно.
  7. Перечитываем условие: \( \angle AKC = 60^\circ \).
  8. Пусть \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle A = 60^\circ \). Тогда \( \angle B = 30^\circ \).
  9. \( K \) — точка на катете AC.
  10. \( \angle AKC = 60^\circ \).
  11. Рассмотрим \( \triangle BKC \). \( \angle C = 90^\circ \). \( \angle BKC \) — внешний угол \( \triangle ABK \).
  12. \( \angle BKC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
  13. В \( \triangle BKC \): \( \angle KBC + \angle BCK + \angle BKC = 180^\circ \).
  14. \( \angle KBC + 90^\circ + 120^\circ = 180^\circ \). Это всё равно даёт отрицательный угол.
  15. Пересмотрим \( \angle AKC = 60^\circ \). Это угол внутри \( \triangle ABK \) или \( \triangle ABC \).
  16. \( K \) лежит на AC. Значит, \( \angle AKC \) — это угол \( \triangle BKC \).
  17. \( \angle BKC \) = 60°.
  18. В \( \triangle BKC \): \( \angle KBC + \angle BCK + \angle BKC = 180^\circ \).
  19. \( \angle KBC + 90^\circ + 60^\circ = 180^\circ \).
  20. \( \angle KBC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
  21. \( \angle ABC = 30^\circ \).
  22. \( \angle KBC = 30^\circ \).
  23. \( \angle ABC = 30^\circ \).
  24. Это значит, что точка K совпадает с точкой A. Но \( \angle AKC = 60^\circ \). Если K=A, то \( \angle ACC = 0 \).
  25. \( \angle AKC = 60^\circ \) — угол, который образует отрезок BK с катетом AC.
  26. В \( \triangle BKC \), \( \angle C = 90^\circ \). \( \angle KBC \) + \( \angle BKC = 90^\circ \).
  27. \( \angle BKC \) — это угол \( \angle AKC \).
  28. \( \angle BKC = 60^\circ \).
  29. \( \angle KBC + 60^\circ = 90^\circ \).
  30. \( \angle KBC = 30^\circ \).
  31. \( \angle ABC = 30^\circ \).
  32. Но по условию \( \angle A = 60^\circ \), значит \( \angle ABC = 30^\circ \).
  33. Это означает, что \( \triangle ABC \) — прямоугольный треугольник с углами \( 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ \).
  34. \( K \) — точка на AC, \( \angle AKC = 60^\circ \).
  35. В \( \triangle BKC \): \( \angle C = 90^\circ \). \( \angle BKC = 60^\circ \). \( \angle KBC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
  36. \( BK = 12 \) см.
  37. В прямоугольном \( \triangle BKC \), катет СК лежит против угла \( \angle KBC = 30^\circ \).
  38. Следовательно, \( CK = \frac{1}{2} BK \).
  39. \( CK = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \) см.

Ответ: 6 см.

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю