1. Укажите функции, возрастающие на области определения: а) у = 0,5х; в) у = √х; б) у = -3х + 2; г) у = log2x. 2. Найдите значение выражения log35 – log215 / log23. 3. Найдите площадь полной поверхности конуса, у которого угол при основании осевого сечения равен 60°, а образующая равна 12 м. 4. Решите неравенство 16х ≤ 0,5 · 82х+3 и укажите наименьшее целое решение неравенства. 5. Найдите объем треугольной пирамиды, у которой все ребра равны b.

Задание 1. Возрастающие функции

Функция возрастает, если ее производная положительна или функция является показательной с основанием больше 1, логарифмической с основанием больше 1, или линейной с положительным углом наклона.

Рассмотрим каждую функцию:

1. \( y = 0,5^x \). Это показательная функция. Так как основание \( 0,5 < 1 \), функция убывает.
2. \( y = \sqrt{x} \). Это корень степени 2. Производная \( y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \). Для \( x > 0 \) производная положительна, следовательно, функция возрастает на области определения \( [0; \infty) \).
3. \( y = -3x + 2 \). Это линейная функция. Угол наклона отрицательный (\( k = -3 < 0 \)), поэтому функция убывает.
4. \( y = \log_2 x \). Это логарифмическая функция. Так как основание \( 2 > 1 \), функция возрастает на области определения \( (0; \infty) \).

Ответ: в) y = √х; г) y = log2x.

Задание 2. Вычисление значения выражения

Данное выражение:

\[ "]{\log_3 5 - \frac{\log_2 15}{\log_2 3}}\[ ]

Используем формулу смены основания логарифма: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \). Следовательно, \( \frac{\log_2 15}{\log_2 3} = \log_3 15 \).

Выражение принимает вид:

\[ "]{\log_3 5 - \log_3 15}\[ ]

Используем свойство логарифма: \( \log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y} \).

Получаем:

\[ \log_3 \frac{5}{15} = \log_3 \frac{1}{3} \]

Так как \( \frac{1}{3} = 3^{-1} \), то:

\[ \log_3 3^{-1} = -1 \]

Ответ: -1.

Задание 3. Площадь полной поверхности конуса

Дано:

• Угол при основании осевого сечения = 60°.
• Образующая \( l = 12 \) м.

Найти: Площадь полной поверхности конуса \( S_{полн} \).

Решение:

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник. Угол при основании этого треугольника равен 60°. Если угол при основании равнобедренного треугольника равен 60°, то треугольник является равносторонним. Следовательно, угол при вершине также равен 60°.

В равностороннем осевом сечении стороны равны образующей, то есть \( l = 12 \) м.

Высота осевого сечения (высота конуса \( h \)) делит его пополам. Диаметр основания \( d \) равен образующей \( l \), а радиус основания \( r = \frac{d}{2} = \frac{l}{2} \).

\( r = \frac{12}{2} = 6 \) м.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле: \( S_{полн} = \pi r (r + l) \).

Подставим значения:

\[ S_{полн} = \pi \cdot 6 (6 + 12) = 6\pi (18) = 108\pi \] м².

Ответ: 108π м².

Задание 4. Решение неравенства

Неравенство:

\[ 16^x \le 0,5 \cdot 8^{2x+3} \]

Приведём все основания к одной степени, например, к 2:

\[ (2^4)^x \le 2^{-1} \cdot (2^3)^{2x+3} \]

\[ 2^{4x} \le 2^{-1} \cdot 2^{3(2x+3)} \]

\[ 2^{4x} \le 2^{-1} \cdot 2^{6x+9} \]

Используем свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):

\[ 2^{4x} \le 2^{-1 + 6x + 9} \]

\[ 2^{4x} \le 2^{6x + 8} \]

Так как основание степени \( 2 > 1 \), при снятии степени знак неравенства сохраняется:

\[ 4x \le 6x + 8 \]

Перенесём члены с \( x \) в одну сторону:

\[ 4x - 6x \le 8 \]

\[ -2x \le 8 \]

Разделим на \( -2 \) и изменим знак неравенства:

\[ x \ge \frac{8}{-2} \]

\[ x \ge -4 \]

Наименьшее целое решение неравенства — это наибольшее целое число, удовлетворяющее условию \( x \ge -4 \). Это число \( -4 \).

Ответ: -4.

Задание 5. Объем треугольной пирамиды

Дано:

• Треугольная пирамида.
• Все ребра равны \( b \).

Найти: Объем пирамиды \( V \).

Решение:

Пирамида, у которой все ребра равны, называется правильной треугольной пирамидой.

Основание такой пирамиды — равносторонний треугольник со стороной \( b \). Площадь основания \( S_{осн} \) равностороннего треугольника вычисляется по формуле: \( S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} b^2 \).

Для нахождения объема пирамиды \( V = \frac{1}{3} S_{осн} h \) нам нужна высота \( h \) пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде, где все рёбра равны, двугранный угол между боковой гранью и основанием равен \( \arctan(\sqrt{2}) \) (приблизительно 54.7°). Однако, проще найти высоту, используя тот факт, что центр описанной окружности основания (точка O) и вершина пирамиды (S) образуют прямоугольный треугольник с вершиной O, где гипотенуза — боковое ребро \( SB = b \), а катеты — высота пирамиды \( SO = h \) и радиус описанной окружности основания \( R \).

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника: \( R = \frac{b}{\sqrt{3}} \).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника \( SOB \):

\[ SO^2 + OB^2 = SB^2 \]

\[ h^2 + R^2 = b^2 \]

\[ h^2 + (\frac{b}{\sqrt{3}})^2 = b^2 \]

\[ h^2 + \frac{b^2}{3} = b^2 \]

\[ h^2 = b^2 - \frac{b^2}{3} = \frac{3b^2 - b^2}{3} = \frac{2b^2}{3} \]

\[ h = \sqrt{\frac{2b^2}{3}} = b \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{b\sqrt{6}}{3} \]

Теперь вычислим объем:

\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} b^2 \cdot \frac{b\sqrt{6}}{3} \]

\[ V = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}}{3 \cdot 4 \cdot 3} b^3 = \frac{\sqrt{18}}{36} b^3 = \frac{3\sqrt{2}}{36} b^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} b^3 \]

Ответ: \( V = \frac{\sqrt{2}}{12} b^3 \).