1. Укажите, какие из утверждений являются верными. Выберите все возможные варианты ответа. 1) Высота пирамиды может быть больше её бокового ребра. 2) Существует четырёхугольная пирамида, две боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания. 3) В основании правильной пирамиды лежит правильный многоугольник. 4) Высота правильной усечённой пирамиды может совпадать с её боковым ребром. 5) Апофема правильной усечённой пирамиды не может быть больше её бокового ребра.

Пошаговое решение:

1. Утверждение 1: Высота пирамиды (h), апофема (d) и половина стороны основания (a/2) образуют прямоугольный треугольник (в правильной пирамиде). Боковое ребро (l), апофема (d) и половина стороны основания (a/2) также образуют прямоугольный треугольник. Или же высота, боковое ребро и отрезок, соединяющий вершину основания с проекцией вершины пирамиды на основание, образуют прямоугольный треугольник. Высота пирамиды всегда меньше бокового ребра, так как является катетом, а боковое ребро — гипотенузой в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, боковым ребром и отрезком от вершины пирамиды до вершины основания. Следовательно, утверждение 1 неверно.
2. Утверждение 2: Если две боковые грани четырёхугольной пирамиды перпендикулярны основанию, это возможно, если эти грани сами перпендикулярны друг другу и одна из них является высотой. Например, если основание — прямоугольник, и боковые грани, опирающиеся на стороны прямоугольника, перпендикулярны основанию. Это возможно.
3. Утверждение 3: По определению, основанием правильной пирамиды является правильный многоугольник. Это утверждение верно.
4. Утверждение 4: В правильной усечённой пирамиде высота (h), боковое ребро (l) и разность радиусов вписанных окружностей оснований (R - r) образуют прямоугольный треугольник. Если усечённая пирамида получилась из правильной, то её высота может совпадать с боковым ребром только в вырожденном случае, что не является типичным для правильной усечённой пирамиды. Высота всегда меньше бокового ребра (как катет по отношению к гипотенузе). Следовательно, утверждение 4 неверно.
5. Утверждение 5: Апофема (d) — это высота боковой грани. В прямоугольном треугольнике, образованном апофемой, высотой пирамиды (h) и отрезком от центра основания до середины стороны основания (r), апофема является гипотенузой. Следовательно, апофема всегда больше высоты. В прямоугольном треугольнике, образованном апофемой, половиной стороны основания (a/2) и боковым ребром (l), апофема является катетом, а боковое ребро — гипотенузой (если угол между апофемой и боковым ребром острый). В некотором смысле, апофема может быть меньше бокового ребра. Но в контексте усеченной пирамиды, апофема — это высота трапеции, которая является боковой гранью. Боковое ребро — это боковая сторона трапеции. Апофема может быть больше бокового ребра, если трапеция вытянута по высоте, но коротка по основанию. Однако, если речь идет о правильной усеченной пирамиде, то апофема всегда больше или равна половине стороны основания, и меньше бокового ребра. Рассмотрим случай, когда основание - квадрат. Сторона основания = a. Высота = h. Тогда апофема d^2 = h^2 + (a/2)^2. Боковое ребро l^2 = h^2 + (D/2)^2, где D - диагональ основания. Для усеченной пирамиды, апофема трапеции, образующей боковую грань, является высотой этой трапеции. Боковое ребро - это боковая сторона трапеции. Апофема (высота трапеции) не может быть больше бокового ребра (боковой стороны трапеции) в любой трапеции. Следовательно, утверждение 5 верно.

Ответ: 2, 3, 5