1. Укажите номера верных утверждений: 1) В параллелограмме есть два равных угла. 2) Существует квадрат, который не является прямоугольником. 3) Диагонали равнобедренной трапеции равны. 4) Все углы ромба равны. 2. Диагонали ромба KMP пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника KMO, если ∠MKP = 80°. 3. Найдите углы равнобедренной трапеции, если один из её углов равен 30°. 4. Стороны параллелограмма относятся как 3:1, а его периметр равен 40 см. Найдите стороны параллелограмма. 5. В прямоугольной трапеции разность тупого и острого углов равна 48°. Найдите углы трапеции. 6. Отец в 3 раза старше сына, а его возраст на 30 больше удвоенного возраста сына. Найдите возраст отца и сына.

1. 1) Верно: в параллелограмме противоположные углы равны. 2) Неверно: любой квадрат является прямоугольником. 3) Верно: диагонали равнобедренной трапеции равны. 4) Неверно: у ромба равны противоположные углы, но не обязательно все углы.

Ответ: 1, 3.

2. В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. Поэтому ∠KOM = 90°. Диагональ KM делит угол K пополам, значит ∠MKO = 80° : 2 = 40°. По сумме углов треугольника ∠KMO = 180° − 90° − 40° = 50°.

Ответ: ∠MKO = 40°, ∠KMO = 50°, ∠KOM = 90°.

3. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а соседние углы при боковой стороне в сумме дают 180°. Если угол 30° — острый, тупые углы равны 150°. Если угол 30° — тупой, это невозможно, поскольку смежный с ним угол должен быть 150°, а углы при одном основании равнобедренной трапеции равны.

Ответ: 30°, 30°, 150°, 150°.

4. Пусть стороны равны 3x и x. Тогда по формуле периметра параллелограмма 2(3x + x) = 40, откуда 8x = 40 и x = 5. Значит, стороны равны 15 см и 5 см.

Ответ: 15 см и 5 см.

5. В прямоугольной трапеции два угла прямые, а два остальных — острый α и тупой β, причём α + β = 180°. По условию β − α = 48°. Складывая уравнения, получаем 2β = 228°, β = 114°, α = 66°.

Ответ: 90°, 90°, 66°, 114°.

6. Пусть сыну x лет, тогда отцу 3x лет. По условию отец на 30 лет старше удвоенного возраста сына: 3x = 2x + 30, откуда x = 30. Значит, отцу 90 лет. Проверка: 90 − 2 · 30 = 30.

Ответ: сыну 30 лет, отцу 90 лет.