1. Упростить выражение a) (a^{-2}b^{3}c^{-5})^3 б) \(\frac{5a^{-2}}{6b^{-1}}\)^2 \(\cdot\) 10a^3b^4 г) \(\frac{2}{3}a^{-4}b^{-2}\)^{-2}

1. Упрощение выражений

а) \( (a^{-2}b^{3}c^{-5})^3 \)

Используем свойство степени \( (x^m)^n = x^{m \cdot n} \):

\[ (a^{-2}b^{3}c^{-5})^3 = a^{-2 \cdot 3}b^{3 \cdot 3}c^{-5 \cdot 3} = a^{-6}b^{9}c^{-15} = \frac{b^9}{a^6c^{15}} \]

б) \( \left( \frac{5a^{-2}}{6b^{-1}} \right)^2 \cdot 10a^3b^4 \)

Сначала раскроем скобки, используя свойство \( (\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n} \) и \( (x^m)^n = x^{m \cdot n} \):

\[ \left( \frac{5a^{-2}}{6b^{-1}} \right)^2 = \frac{(5a^{-2})^2}{(6b^{-1})^2} = \frac{5^2 (a^{-2})^2}{6^2 (b^{-1})^2} = \frac{25a^{-4}}{36b^{-2}} \]

Теперь умножим на \( 10a^3b^4 \):

\[ \frac{25a^{-4}}{36b^{-2}} \cdot 10a^3b^4 = \frac{25 \cdot 10 \cdot a^{-4} \cdot a^3 \cdot b^4}{36 \cdot b^{-2}} = \frac{250 a^{-4+3} b^{4-(-2)}}{36} = \frac{250 a^{-1} b^{6}}{36} \]

Упростим дробь и запишем с положительными степенями:

\[ \frac{250}{36a} b^6 = \frac{125 b^6}{18a} \]

г) \( \left( \frac{2}{3}a^{-4}b^{-2} \right)^{-2} \)

Используем свойство \( (x^m)^n = x^{m \cdot n} \) и \( (\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n} \):

\[ \left( \frac{2}{3}a^{-4}b^{-2} \right)^{-2} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} (a^{-4})^{-2} (b^{-2})^{-2} \]

\[ = \left( \frac{3}{2} \right)^{2} a^{-4 \cdot (-2)} b^{-2 \cdot (-2)} = \frac{3^2}{2^2} a^{8} b^{4} = \frac{9}{4} a^8 b^4 \]

Ответ: а) \( \frac{b^9}{a^6c^{15}} \); б) \( \frac{125 b^6}{18a} \); г) \( \frac{9}{4} a^8 b^4 \)