1. Упростить выражения: a) \(\left(a^{-2}b^{8}c^{-5}\right)^3\) б) \(\left(\frac{5a^{-2}}{6b^{-1}}\right)^{-1} \cdot 10a^{3}b^{4}\) в) \(\left(\frac{2}{3}a^{-4}b^{-1}\right)^{-2}\)

Решение:

1. а) \(\left(a^{-2}b^{8}c^{-5}\right)^3\)

   Воспользуемся свойством степени \((x^m)^n = x^{m \cdot n}\):

   \[ \left(a^{-2}b^{8}c^{-5}\right)^3 = a^{-2 \cdot 3}b^{8 \cdot 3}c^{-5 \cdot 3} = a^{-6}b^{24}c^{-15} \]

   Можно также записать с положительными степенями:

   \[ \frac{b^{24}}{a^{6}c^{15}} \]

2. б) \(\left(\frac{5a^{-2}}{6b^{-1}}\right)^{-1} \cdot 10a^{3}b^{4}\)

   Сначала раскроем внешнюю степень \((-1)\), поменяв местами числитель и знаменатель и изменив знак степени на положительный:

   \[ \left(\frac{5a^{-2}}{6b^{-1}}\right)^{-1} = \frac{6b^{-1}}{5a^{-2}} \]

   Теперь подставим это в исходное выражение и применим свойство \(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\) или \(\frac{1}{x^{-n}} = x^n\):

   \[ \frac{6b^{-1}}{5a^{-2}} \cdot 10a^{3}b^{4} = \frac{6}{5} \cdot \frac{b^{-1}}{a^{-2}} \cdot 10a^{3}b^{4} = \frac{6}{5} \cdot \frac{a^{2}}{b^{1}} \cdot 10a^{3}b^{4} \]

   Перемножим дроби:

   \[ \frac{6 \cdot a^{2} \cdot 10 \cdot a^{3} \cdot b^{4}}{5 \cdot b^{1}} = \frac{60 a^{2+3} b^{4}}{5 b^{1}} = \frac{60 a^{5} b^{4}}{5 b^{1}} \]

   Упростим дробь:

   \[ 12 a^{5} b^{4-1} = 12 a^{5} b^{3} \]

3. в) \(\left(\frac{2}{3}a^{-4}b^{-1}\right)^{-2}\)

   Используем свойство \((x^m)^n = x^{m \cdot n}\) и \((\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}\):

   \[ \left(\frac{2}{3}a^{-4}b^{-1}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \cdot \left(a^{-4}\right)^{-2} \cdot \left(b^{-1}\right)^{-2} \]

   Раскроем степени:

   \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} \]

   \[ \left(a^{-4}\right)^{-2} = a^{-4 \cdot -2} = a^{8} \]

   \[ \left(b^{-1}\right)^{-2} = b^{-1 \cdot -2} = b^{2} \]

   Соединим полученные части:

   \[ \frac{9}{4} a^{8} b^{2} \]

Ответ: а) \(a^{-6}b^{24}c^{-15}\) или \(\frac{b^{24}}{a^{6}c^{15}}\); б) \(12a^{5}b^{3}\); в) \(\frac{9}{4}a^{8}b^{2}\).