1. Упростите: 1) 2sin4x⋅cos4x; 2) cos² 24x - sin² 24x; 3) 2 sin 20° cos 20°; 4) cos² 16° - sin² 16°; 5) 2 sin(π/12)⋅cos(π/12); 6) sin(π/12)⋅cos(π/12); 7) cos²(π/14) - sin²(π/14); 8) sin 20°/cos 20°; 9) sin 20° / 2 sin 10°; 10) cos² 12° - sin² 12° - cos 24°; 11) 2tg10°/(1-tg²10°); 12) (1-tg²12°)/(2tg12°). 2. Дано: sin α = 5/13; π < α < 3π/2. Найдите sin2α.

1. Упрощение выражений:

1. \( 2\sin 4x \cos 4x = \sin(2 \cdot 4x) = \sin 8x \)
2. \( \cos^2 24x - \sin^2 24x = \cos(2 \cdot 24x) = \cos 48x \)
3. \( 2 \sin 20° \cos 20° = \sin(2 \cdot 20°) = \sin 40° \)
4. \( \cos^2 16° - \sin^2 16° = \cos(2 \cdot 16°) = \cos 32° \)
5. \( 2 \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \)
6. \( \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \left(2 \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12}\right) = \frac{1}{2} \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)
7. \( \cos^2 \frac{\pi}{14} - \sin^2 \frac{\pi}{14} = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{14}\right) = \cos \frac{\pi}{7} \)
8. \( \frac{\sin 20°}{\cos 20°} = \tan 20° \)
9. \( \frac{\sin 20°}{2 \sin 10°} \) — данное выражение не упрощается напрямую по стандартным формулам двойного угла. Можно записать \( \sin 20° = 2\sin 10° \cos 10° \), тогда \( \frac{2\sin 10° \cos 10°}{2 \sin 10°} = \cos 10° \).
10. \( \cos^2 12° - \sin^2 12° - \cos 24° = \cos(2 \cdot 12°) - \cos 24° = \cos 24° - \cos 24° = 0 \)
11. \( \frac{2\tan 10°}{1 - \tan^2 10°} = \tan(2 \cdot 10°) = \tan 20° \)
12. \( \frac{1 - \tan^2 12°}{2 \tan 12°} = \frac{1}{\frac{2 \tan 12°}{1 - \tan^2 12°}} = \frac{1}{\tan(2 \cdot 12°)} = \frac{1}{\tan 24°} = \cot 24° \)

2. Нахождение sin2α:

Дано: \( \sin \alpha = \frac{5}{13}, \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \) (α — угол III четверти).

Так как \( \alpha \) — угол III четверти, \( \cos \alpha < 0 \).

\( \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} \).

Используем формулу синуса двойного угла: \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).

\( \sin 2\alpha = 2 \cdot \left(\frac{5}{13}\right) \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{60}{169}\right) = -\frac{120}{169} \).

Ответ: 1. 1) \( \sin 8x \); 2) \( \cos 48x \); 3) \( \sin 40° \); 4) \( \cos 32° \); 5) \( \frac{1}{2} \); 6) \( \frac{1}{4} \); 7) \( \cos \frac{\pi}{7} \); 8) \( \tan 20° \); 9) \( \cos 10° \); 10) 0; 11) \( \tan 20° \); 12) \( \cot 24° \). 2. \( -\frac{120}{169} \).