1. Упростите выражение: 1) а) (2a² − 5a + 4)/(a − 2)² − (a − 3)/(a − 2); б) (b − 1)/(b² − b + 1) − 2/(b³ + 1); 2) а) (3x − 2)/(2x − 6) − (3x + 2)/(3x − 9) − (3x − 8)/(18 − 6x); б) 2y/(y − 3) + y/(y + 3) + 2y²/(9 − y²); 3) а) 2/(3x + 6) + (x² − x − 3)/(x² − 4) − 1; б) 1 + (2a + 1)/(a³ − 1) − a/(a − 1).

а) Приведём дроби к общему знаменателю:

\(\dfrac{2a^2-5a+4}{(a-2)^2}-\dfrac{a-3}{a-2}=\dfrac{2a^2-5a+4-(a-3)(a-2)}{(a-2)^2}\).

\((a-3)(a-2)=a^2-5a+6\), поэтому числитель равен \(2a^2-5a+4-(a^2-5a+6)=a^2-2\).

При \(a\ne2\): \(\dfrac{a^2-2}{(a-2)^2}\).

б) Используем разложение суммы кубов: \(b^3+1=(b+1)(b^2-b+1)\).

\(\dfrac{b-1}{b^2-b+1}-\dfrac{2}{b^3+1}=\dfrac{(b-1)(b+1)-2}{(b+1)(b^2-b+1)}=\dfrac{b^2-3}{b^3+1}\).

Ограничение: \(b\ne-1\).

2а) Разложим знаменатели: \(2x-6=2(x-3)\), \(3x-9=3(x-3)\), \(18-6x=-6(x-3)\).

\(\dfrac{3x-2}{2(x-3)}-\dfrac{3x+2}{3(x-3)}-\dfrac{3x-8}{-6(x-3)}=\dfrac{3(3x-2)-2(3x+2)+(3x-8)}{6(x-3)}\).

Числитель: \(9x-6-6x-4+3x-8=6x-18=6(x-3)\). Следовательно, выражение равно \(1\), если \(x\ne3\).

2б) Так как \(9-y^2=-(y-3)(y+3)\), общий знаменатель — \((y-3)(y+3)\).

\(\dfrac{2y}{y-3}+\dfrac{y}{y+3}+\dfrac{2y^2}{9-y^2}=\dfrac{2y(y+3)+y(y-3)-2y^2}{(y-3)(y+3)}\).

Числитель равен \(y^2+3y=y(y+3)\). Сокращаем на \(y+3\): получаем \(\dfrac{y}{y-3}\), где \(y\ne3\) и \(y\ne-3\).

3а) Разложим знаменатели: \(3x+6=3(x+2)\), \(x^2-4=(x-2)(x+2)\).

\(\dfrac{2}{3(x+2)}+\dfrac{x^2-x-3}{(x-2)(x+2)}-1=\dfrac{2(x-2)+3(x^2-x-3)-3(x^2-4)}{3(x-2)(x+2)}\).

Числитель: \(2x-4+3x^2-3x-9-3x^2+12=-x-1\).

При \(x\ne-2,2\) получаем \(-\dfrac{x+1}{3(x^2-4)}\).

3б) Разложим разность кубов: \(a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)\).

Приведём к общему знаменателю:

\(1+\dfrac{2a+1}{a^3-1}-\dfrac{a}{a-1}=\dfrac{a^3-1+(2a+1)-a(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}\).

Числитель равен \(-a^2+a=-a(a-1)\). Сокращаем на \(a-1\): получаем \(-\dfrac{a}{a^2+a+1}\), где \(a\ne1\).