1. Упростите выражение: 1) tg 7a ctg 7a + \(\frac{1 - sin^2 a}{1 - cos^2 a}\); 2) ctg\(\pi + 3a\) + tg\(\frac{\pi}{2} - 3a\); 3) \(\frac{sin 8a - sin 2a}{cos 8a + cos 2a}\); 4) \(\frac{2 cos 6a}{sin 12a}\).

Решение:

1)

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \) и \( \text{tg } x \cdot \text{ctg } x = 1 \).

\( \text{tg } 7a \cdot \text{ctg } 7a + \frac{1 - \sin^2 a}{1 - \cos^2 a} = 1 + \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = 1 + \text{ctg}^2 a = \frac{1}{\sin^2 a} \)

2)

Используем формулы приведения:

\( \text{ctg}(\pi + 3a) = \text{ctg } 3a \)

\( \text{tg}(\frac{\pi}{2} - 3a) = \text{ctg } 3a \)

\( \text{ctg } 3a + \text{ctg } 3a = 2 \text{ctg } 3a \)

3)

Используем формулы суммы и разности аргументов:

\( \sin 8a - \sin 2a = 2 \cos \frac{8a+2a}{2} \sin \frac{8a-2a}{2} = 2 \cos 5a \sin 3a \)

\( \cos 8a + \cos 2a = 2 \cos \frac{8a+2a}{2} \cos \frac{8a-2a}{2} = 2 \cos 5a \cos 3a \)

\( \frac{2 \cos 5a \sin 3a}{2 \cos 5a \cos 3a} = \frac{\sin 3a}{\cos 3a} = \text{tg } 3a \)

4)

Используем формулу синуса двойного угла: \( \sin 12a = 2 \sin 6a \cos 6a \).

\( \frac{2 \cos 6a}{\sin 12a} = \frac{2 \cos 6a}{2 \sin 6a \cos 6a} = \frac{1}{\sin 6a} = \text{cosec } 6a \)

Ответ: 1) \( \frac{1}{\sin^2 a} \); 2) \( 2 \text{ctg } 3a \); 3) \( \text{tg } 3a \); 4) \( \frac{1}{\sin 6a} \).